{"id":1791,"date":"2020-10-17T15:42:24","date_gmt":"2020-10-17T15:42:24","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1791"},"modified":"2020-10-17T15:43:53","modified_gmt":"2020-10-17T15:43:53","slug":"solucion-a-poligonos-encajables","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/10\/17\/solucion-a-poligonos-encajables\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a pol\u00edgonos regulares encajables"},"content":{"rendered":"
Problema 7 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
En la imagen de ejemplo podemos ver c\u00f3mo podemos encajar un pol\u00edgono regular de 10 lados, uno de 3 (tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero) y otro de 15, sin dejar espacios entre ellos.<\/p>\n
a) Estudiar y razonar con todo detalle todos los valores de m y n (pueden ser iguales, pero supondremos que m es menor o igual que n) que hacen que un pol\u00edgono regular de m lados, otro de n lados y un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero encajan sin dejar espacio entre los tres.<\/p>\n
b) Estudiar todos los posibles valores de m, n y p (donde m menor o igual que n, y n menor o igual que p) en los que tres pol\u00edgonos regulares de tama\u00f1os m, n y p encajan sin dejar huecos.
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\nSoluci\u00f3n<\/p>\n
La principal idea que debemos barajar aqu\u00ed es que los \u00e1ngulos interiores sumen 360\u00ba.<\/p>\n
Es decir, necesitamos alg\u00fan m\u00e9todo de c\u00e1lculo que nos permita calcular el \u00e1ngulo interior de un pol\u00edgono regular. En la imagen vemos que, si dividimos en tri\u00e1ngulos desde el centro el pol\u00edgono regular, los \u00e1ngulos interiores son sumas de dos \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles, y el \u00e1ngulo central (el que es diferente en ese tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero), depender\u00e1 s\u00f3lo de cu\u00e1ntos lados tiene el pol\u00edgono regular.<\/p>\n
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\nPor lo tanto, en un pol\u00edgono de n lados el \u00e1ngulo central medir\u00e1 360\/n, y la suma de los otros dos, que ser\u00e1 el \u00e1ngulo interior, medir\u00e1 180\u00ba \u2013 360\u00ba\/n.<\/p>\n
En el caso que nos ocupa, el \u00e1ngulo interior del tri\u00e1ngulo mide (evidentemente) 180\u00ba \u2013 120\u00ba = 60\u00ba, el del dec\u00e1gono mide 180\u00ba \u2013 36\u00ba = 144\u00ba, y el del pol\u00edgono de quince lados 180\u00ba \u2013 24\u00ba = 156\u00ba. en total, vemos que claramente suman 360\u00ba.<\/p>\n
Vamos a preparar un listado, y trataremos de estudiar qu\u00e9 sumas pueden dar 360. Es muy importante, para poder terminar con \u00e9xito todas las posibilidades, que los poliedros que usemos est\u00e9n ordenados por n\u00famero de lados, calculando el \u00faltimo (el de m\u00e1s lados) a partir de los dos anteriores.<\/p>\n
En el apartado a), sabemos que uno de los pol\u00edgonos tiene 3 lados, y por tanto, su \u00e1ngulo interior mide 60\u00ba. El segundo en tama\u00f1o de los pol\u00edgonos tiene que sumar con \u00e9l m\u00e1s de 180\u00ba. Como eso significar\u00eda tener 120\u00ba de \u00e1ngulo interno (180\u00ba \u2013 360\u00ba\/n = 120\u00ba, por lo que n = 6), de be tener m\u00e1s de 6 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 7 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 60\u00ba + 900\u00ba\/7 = 1320\u00ba\/7, faltan 1200\u00ba\/7 para los 360\u00ba, que corresponde a un \u00e1ngulo interior de uno de 42 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 8 lados, tenemos un \u00e1ngulo total de 60\u00ba + 135\u00ba = 195\u00ba, faltan 165\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a uno de 24 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 9 lados, tenemos un \u00e1ngulo total de 60\u00ba + 140\u00ba = 200\u00ba, faltan 160\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a uno de 18 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 10 lados, tenemos un \u00e1ngulo total de 60\u00ba + 144\u00ba = 204\u00ba, faltan 156\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a uno de 15 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 11 lados, tenemos un \u00e1ngulo total de 60\u00ba + 1620\u00ba\/11 = 2280\u00ba\/11, faltan 1680\u00ba\/11 para los 360\u00ba, que no corresponde a ning\u00fan pol\u00edgono regular (da fracci\u00f3n).<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 12 lados, tenemos un \u00e1ngulo total de 60\u00ba + 150 = 210\u00ba, faltan 150\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a otro de 12 lados.<\/p>\n
Evidentemente, estas son las parejas que buscamos para el apartado a) 3 \u2013 12 \u2013 12, 3 \u2013 10 \u2013 15, 3 \u2013 9 \u2013 18,  3 \u2013 8 \u2013 24 y 3 \u2013 7 \u2013 42.<\/p>\n
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\nEn el apartado b) hemos de buscar partiendo de un poliedro peque\u00f1o que puede ser m\u00e1s diverso.<\/p>\n
Iniciar con el cuadrado nos hace tener 90\u00ba de partida. Con otro cuadrado s\u00f3lo llegamos a 180\u00ba, as\u00ed que deberemos tomar pol\u00edgonos mayores,<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 5 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 90\u00ba + 108 = 198\u00ba faltan 162\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a un \u00e1ngulo interior de uno de 20 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 6 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 90\u00ba + 120\u00ba = 210\u00ba faltan 150\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a un \u00e1ngulo interior de uno de 12 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 7 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 90\u00ba + 900\u00ba\/7 = 1530\u00ba\/7, faltan 990\u00ba\/7 para los 360\u00ba, que no corresponde a un \u00e1ngulo interior de ninguno regular (da 9,333…lados).<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 8 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 90\u00ba + 135\u00ba = 225\u00ba, faltan 135\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a un \u00e1ngulo interior de otro de 8 lados.<\/p>\n
Evidentemente, no hay m\u00e1s con cuadrados.<\/p>\n
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\nIniciar con el pent\u00e1gono nos hace tener 108\u00ba de partida. Con otro pent\u00e1gono pasamos de 180\u00ba, as\u00ed que deberemos tomar pol\u00edgonos iguales o mayores,<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 5 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 108\u00ba + 108\u00ba = 216\u00ba faltan 144\u00ba para los 360\u00ba, que corresponde a un \u00e1ngulo interior de uno de 10 lados.<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 6 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 108\u00ba + 120\u00ba = 228\u00ba faltan 132\u00ba para los 360\u00ba, quue no corresponde a un \u00e1ngulo interior de ninguno regular (da 7,5 lados).<\/p>\n
Si lo unimos con uno de 7 lados, tendr\u00edamos un \u00e1ngulo total de 108\u00ba + 900\u00ba\/7 = 1656\u00ba\/7, faltan 864\u00ba\/7 para los 360\u00ba, que no corresponde a un \u00e1ngulo interior de ninguno regular (da 6,3636\u2026 = 70\/11 lados). Adem\u00e1s, ser\u00edan ya pol\u00edgonos menores que el segundo.<\/p>\n
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\nEvidentemente, no hay m\u00e1s con pent\u00e1gonos.<\/p>\n
Sigamos con hex\u00e1gonos.El \u00e1ngulo interior debe ser de 120\u00ba, lo m\u00ednimo que le podemos unir es 120\u00ba, y el resto debe ser 120\u00ba, as\u00ed que ser\u00eda con 3 pol\u00edgonos iguales.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Y evidentemente no hay m\u00e1s, ya que el m\u00e1s peque\u00f1o no puede superar 360\u00ba\/3 = 120\u00ba.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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