{"id":1814,"date":"2020-10-31T07:19:30","date_gmt":"2020-10-31T07:19:30","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1814"},"modified":"2020-10-31T07:19:30","modified_gmt":"2020-10-31T07:19:30","slug":"solucion-a-altura-de-cuatro-jugadoras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/10\/31\/solucion-a-altura-de-cuatro-jugadoras\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a altura de cuatro jugadoras"},"content":{"rendered":"
Problema 8 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Se nos dan cuatro valores, T, m n y p. Podemos dar la soluci\u00f3n con unos valores concretos y explicar c\u00f3mo se calcula, pero se apreciar\u00eda m\u00e1s dar la soluci\u00f3n general.<\/p>\n
Alba, Berta, Carmen y Diana son cuatro jugadoras de un equipo de baloncesto.<\/p>\n
Las cuatro tienen alturas diferentes, y entre todas suman T cent\u00edmetros.<\/p>\n
Alba mide m cent\u00edmetros m\u00e1s que Carmen.<\/p>\n
Diana mide n cent\u00edmetros m\u00e1s que Berta.<\/p>\n
Si sumamos la altura de la m\u00e1s alta y la de la m\u00e1s baja, el resultado es p cent\u00edmetros inferior al resultado de la suma de las otras dos.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1nto miden las cuatro jugadoras?\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nPara tratar de resolver el problema, nos vendr\u00eda bien poner un ejemplo con valores concretos y ver c\u00f3mo se busca la soluci\u00f3n.<\/p>\n
Se trata de cuatro alturas, pongamos 175 (Berta), 180 (Carmen), 190 (Alba) y 201 (Diana).<\/p>\n
En este caso, la suma de las cuatro alturas, T, ser\u00eda 746.<\/p>\n
El valor de m, ser\u00eda 10, ya que Alba mide 10 cent\u00edmetros m\u00e1s que Carmen.<\/p>\n
El valor de n ser\u00eda 26, ya que Diana mide 26 cent\u00edmetros m\u00e1s que Berta.<\/p>\n
Y por \u00faltimo, como la altura de la m\u00e1s alta y la m\u00e1s baja es 376 y la de las otras dos es 170, tenemos que p vale 6.
\nVeamos c\u00f3mo damos con la soluci\u00f3n (o soluciones), y anotemos los pasos.<\/p>\n
Est\u00e1 claro que tenemos una ecuaci\u00f3n a + b + c + d = 746 (en general, a + b + c + d = T).<\/p>\n
Otra ecuaci\u00f3n ser\u00eda a \u2013 c = 10 (en general, a \u2013 c = m).<\/p>\n
Una tercera ecuaci\u00f3n, claramente d \u2013 b = 26 (en general, d \u2013 b = n).<\/p>\n
La cuarta ecuaci\u00f3n es m\u00e1s confusa, ya que hay varias posibilidades.<\/p>\n
Est\u00e1 claro que la m\u00e1s alta debe ser una de las dos que son m\u00e1s altas (Alba o Diana), y la m\u00e1s baja debe ser una de las otras que son m\u00e1s bajas (Berta o Carmen), pero no queda claramente especificado cu\u00e1l de ellas es, de forma que la \u00faltima ecuaci\u00f3n debe ser una de las siguientes:<\/p>\n
a + b \u2013 c \u2013 d = 6
\na \u2013 b + c \u2013 d = 6
\n-a + b \u2013 c + d = 6
\n-a \u2013 b + c \u2013 d = 6<\/p>\n
Es decir, hay cuatro posibilidades. Resolver el sistema no es dif\u00edcil, y puede que alguna de las soluciones no lleve a ning\u00fan lado, pero vamos a intentarlo en cada una de las cuatro variantes.<\/p>\n
Primera posibilidad.<\/p>\n
a + b + c + d = 746 (T)
\na \u2013 c = 10 (m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\na + b \u2013 c \u2013 d = 6 (p)<\/p>\n
Puesto que la a = 10 + c, tenemos que<\/p>\n
b + 2c + d = 736 (T \u2013 m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\nb \u2013 d = -4 ( p \u2013 m)<\/p>\n
Esta situaci\u00f3n es absurda. Luego descartamos esta posibilidad.<\/p>\n
Si se estudia en general, veremos que si p \u2013 m es distinto de -n, es decir, si p es distinto de m \u2013 n, esta situaci\u00f3n no se puede dar. En caso de que sea igual, hay una gran cantidad de situaciones posibles.<\/p>\n
Segunda posibilidad.<\/p>\n
a + b + c + d = 746 (T)
\na \u2013 c = 10 (m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\na \u2013 b + c \u2013 d = 6 (p)<\/p>\n
Puesto que a = 10 + c, tenemos que<\/p>\n
b + 2c + d = 736 (T \u2013 m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\n-b +2c \u2013 d = -4  (p \u2013 m)<\/p>\n
Y como d = 26 + b, tenemos que<\/p>\n
2b + 2c = 710 (T \u2013 m \u2013 n)
\n-2b +2c = 22 (p \u2013 m + n)<\/p>\n
Sumando ambas igualdades, 4c = 732, por lo que c = 183. A partir de ah\u00ed, tenemos b = 172, a = 193 y d = 198, que no es la situaci\u00f3n de partida.<\/p>\n
Tercera posibilidad.<\/p>\n
a + b + c + d = 746 (T)
\na \u2013 c = 10 (m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\n-a + b \u2013 c + d = 6 (p)<\/p>\n
De nuevo, a = 10 + c, por lo que<\/p>\n
b + 2c + d = 736 (T \u2013 m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\nb \u2013 2c + d = 16 (p + m)<\/p>\n
Y como d = 26 + b, tenemos que<\/p>\n
2b + 2c = 710 (T \u2013 m \u2013 n)
\n2b \u2013 2c = -10 (p + m \u2013 n)<\/p>\n
De nuevo, sumando tenemos que 4b = 700, por lo que b = 175, c = 180, a = 190 y d = 201, que era la otra posibilidad (nuestra posibilidad de partida).<\/p>\n
Cuarta y \u00faltima posibilidad.<\/p>\n
a + b + c + d = 746 (T)
\na \u2013 c = 10 (m)
\nd \u2013 b = 26 (n)
\n-a \u2013 b + c + d = 6 (p)<\/p>\n
De nuevo vuelve a suceder algo similar a la primera posibilidad. No deber\u00eda darse el caso, salvo que p coincida con n \u2013 m, y en ese caso, hay muchas soluciones posibles.<\/p>\n
Para solucionar esas dos posibilidades v\u00e1lidas en general, seguimos el proceso con las letras que hay entre par\u00e9ntesis, logrando  obtener las siguientes soluciones:<\/p>\n
Primera soluci\u00f3n:<\/p>\n
c = (T + p \u2013 2m)\/4, b = (T \u2013 p \u2013 2n)\/4, a = (T + p + 2m)\/4 y d = (T \u2013 p + 2n)\/4<\/p>\n
Segunda soluci\u00f3n:<\/p>\n
b = (T + p \u2013 2n)\/4, c = (T \u2013 p \u2013 2m)\/4, a = (T \u2013 p + 2m)\/4 y d = (T + p+ 2n)\/4<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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