{"id":1821,"date":"2020-11-07T18:54:06","date_gmt":"2020-11-07T18:54:06","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1821"},"modified":"2020-11-07T18:54:06","modified_gmt":"2020-11-07T18:54:06","slug":"solucion-a-siete-cifras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/11\/07\/solucion-a-siete-cifras\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a siete cifras"},"content":{"rendered":"
Problema 9 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
\u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros de 7 cifras hay, escritos con las siete cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (cada cifra debe aparecer exactamente una vez en el n\u00famero) que sean m\u00faltiplos de 11?<\/p>\n
A esta pregunta a\u00f1ado yo \u00bfpodr\u00edas encontrar cu\u00e1l es el mayor y cu\u00e1l es el menor de ellos?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Para poder manejar n\u00fameros a partir de cifras, resulta muy conveniente conocer el criterio de divisibilidad t\u00edpico de los m\u00faltiplos de 11.<\/p>\n
Las cifras que ocupan una posici\u00f3n par y las que ocupan una posici\u00f3n impar se diferencian en una cantidad que es m\u00faltiplo de 11.<\/p>\n
Puesto que s\u00f3lo podemos manipular la posici\u00f3n de las cifras del 1 al 7, vamos a tratar de averiguar cu\u00e1les ocupan una posici\u00f3n par y cu\u00e1les ocupan una posici\u00f3n impar.<\/p>\n
Si queremos que la diferencia sea cero, las m\u00e1s altas deben ir en las posiciones pares, puesto que son menos. Si ubicamos 5, 6 y 7, sumar\u00e1n 18, mientras que 1, 2, 3 y 4 suman 10. Al cambiar una por otra (pongamos 5 por 4), conseguimos que la diferencia entre los grupos se recorte en 2 unidades, es decir, la diferencia entre las cifras que intercambiamos multiplicada por 2.<\/p>\n
Tenemos la posibilidad entonces de cambiar 7 por 3, consiguiendo la posici\u00f3n par 3, 5 y 6, que suman 14, y en la impar 1, 2, 7 y 4, que tambi\u00e9n suman 14 (de hecho, cualquier grupo de 3 que sume 14 nos valdr\u00e1, pues el otro grupo autom\u00e1ticamente sumar\u00e1 14).<\/p>\n
Por tanto, los grupos de cifras que acaben en posici\u00f3n par pueden ser los siguientes: 7 \u2013 6 \u2013 1, 7 \u2013 5 \u2013 2, 7 \u2013 4 \u2013 3 y 6 \u2013 5 \u2013 3. Evidentemente, elegir el n\u00famero mayor m\u00e1s peque\u00f1o no proporciona una suma de 14.<\/p>\n
Por otra parte, es evidente que, puesto que la diferencia entre las posiciones pare e impares est\u00e1 entre 8 a favor de las posiciones pares (en el caso en que las de posici\u00f3n par sean las m\u00e1s grandes) y 16 a favor de las impares, en el caso en que sean m\u00e1s peque\u00f1as, podr\u00edamos pensar que es posible encontrar otras combinaciones que sumen un m\u00faltiplo de 11.<\/p>\n
Pero puesto que al cambiar una por otra la diferencia var\u00eda de 2 en 2, es imposible lograr una diferencia impar, as\u00ed que no es posible lograr una diferencia de 11, pero y no llegaremos a una de 22, ya que el m\u00e1ximo se logra situando 1 \u2013 2 \u2013 3 en posici\u00f3n par (que suman 6) y 4 \u2013 5 \u2013 6 \u2013 7 en posici\u00f3n impar (que suman 22), logrando la m\u00e1xima diferencia de 16.<\/p>\n
Para cada una de las cuatro combinaciones que podemos hallar, podemos cambiar la posici\u00f3n de las cifras en posici\u00f3n par (6 posiciones) y las de posici\u00f3n impar (24 posiciones), lo que nos ofrece un total de 6\u00b724 = 144 n\u00fameros de 7 cifras diferentes para cada una de las selecci\u00f3n de cifras.<\/p>\n
As\u00ed que la respuesta debe ser de 144\u00b74 = 576 n\u00fameros diferentes.<\/p>\n
El mayor es 7645231 y el m\u00e1s peque\u00f1o es 1235476.<\/p>\n
Curiosamente, la cantidad total de n\u00fameros de ese tipo que hay es 5040 = 7!, as\u00ed que la proporci\u00f3n de m\u00faltiplos de 11 es mayor de lo que ser\u00eda si estuviesen representados proporcionalmente, ya que 5040\/11 es algo menor que 459.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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