{"id":1842,"date":"2020-11-28T08:12:03","date_gmt":"2020-11-28T08:12:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1842"},"modified":"2020-11-28T08:12:03","modified_gmt":"2020-11-28T08:12:03","slug":"solucion-a-media-cuadriculada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/11\/28\/solucion-a-media-cuadriculada\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a media cuadriculada"},"content":{"rendered":"
Problema 12 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
En una cuadr\u00edcula de RxR casillas escribimos un 1 en todas las casillas que corresponden a una fila impar y columna impar; escribimos un 4 en todas las casillas que corresponden a una fila y una columna que tienen diferente paridad, y escribimos un 7 en las casillas que corresponden a una fila par y una columna par.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l es la media aritm\u00e9tica de todos los n\u00fameros que hemos escrito?<\/p>\n
Nota: debemos proporcionar una expresi\u00f3n para el caso en que R sea par, y otro para el caso en que R sea impar. Si, adem\u00e1s, proporcionamos una expresi\u00f3n que sea v\u00e1lida para ambos casos, supondr\u00e1 una puntuaci\u00f3n extra (0,2 puntos a\u00f1adidos a los 3 del problema).
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\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
De una observaci\u00f3n de los primeros tableros deducimos que el caso par es muy sencillo, ya que corresponde a una composici\u00f3n a base de cuadrados en las que se repite un mismo patr\u00f3n 1 \u2013 4 \u2013 4 \u2013 7, que tiene media 4.<\/p>\n
En el caso en que R sea un n\u00famero impar, deberemos trabajar m\u00e1s, dividiendo por ejemplo el tablero en zonas.<\/p>\n
Tenemos un subtablero de tama\u00f1o (R \u2013 1)\u00b2 = R\u00b2 \u2013 2R + 1 formado como en el caso anterior, y cuya media seguir\u00e1 siendo 4, por lo que la suma de todas sus casillas ser\u00e1 4R\u00b2 \u2013 8R + 4.<\/p>\n
Por otra parte, la \u00faltima columna tendremos que la \u00faltima casilla de abajo tendr\u00e1 un 1.<\/p>\n
El resto de la columna, as\u00ed como el resto de la \u00faltima fila, que tienen un total de 2(R \u2013 1) = 2R \u2013 2 casillas, que se pueden construir con parejas 1 \u2013 4, cuya media es 2,5. La suma total ser\u00e1, por tanto 2,5(2R \u2013 2) = 5R \u2013 5.<\/p>\n
De esta forma, la suma de todas las casillas ser\u00eda 4R\u00b2 \u2013 8R + 4 + 5R \u2013 5 + 1 = 4R\u00b2 \u2013 3R. Puesto que el total de casillas es R\u00b2, la f\u00f3rmula para la media ser\u00e1 (4R\u00b2 \u2013 3R)\/R\u00b2 = 4 \u2013 3\/R.<\/p>\n
Podemos comprobar en los casos bajos emp\u00edricamente que la f\u00f3rmula para los casos impares funciona, estudiando R = 1 , que da 1 = 4 \u2013 3\/1, y el caso R = 3, que da una media de 3 = 4 \u2013 3\/3.<\/p>\n
Para conseguir una estrategia adecuada para una f\u00f3rmula que funcione en los casos pares e impares, conviene recordar que (-1)R<\/sup> es 1 en caso de que R sea par y -1 si R es impar.<\/p>\n
Algo que se hace en estos casos es, si queremos que en los casos pares d\u00e9 un resultado a y en los impares b, es conseguir dos n\u00fameros p y q, de forma que p + q = a y p \u2013 q = b, as\u00ed que p +(-1)R<\/sup>q funcionar\u00e1 en todos los casos, ya que en los pares sumar\u00e1 p y q, y en los impares los restar\u00e1.<\/p>\n
Resolviendo el sistema p + q = a y p \u2013 q = b, tenemos que p = a\/2 + b\/2, mientras que q = a\/2 \u2013 b\/2. Es tan frecuente encontrarnos estas expresiones, que tienen nombre (semisuma y semirresta).<\/p>\n
En nuestro caso, la f\u00f3rmula que necesitamos ser\u00e1 4\/2 + (4 \u2013 3\/R)\/2 + (-1)R<\/sup>(4\/2 \u2013 (4 \u2013 3\/R)\/2)) = 4 \u2013 3\/(2R) + (-1)R<\/sup>(3\/(2R)), ya que en el caso que R sea par, eliminar\u00e1 la parte que depende de R, y en el caso de que R sea impar sumar\u00e1 -3\/(2R) a s\u00ed mismo, obteniendo -3\/R.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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