{"id":1849,"date":"2020-12-05T08:54:10","date_gmt":"2020-12-05T08:54:10","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1849"},"modified":"2020-12-05T08:54:10","modified_gmt":"2020-12-05T08:54:10","slug":"solucion-a-cubo-inscrito-en-piramide","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/12\/05\/solucion-a-cubo-inscrito-en-piramide\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cubo inscrito en pir\u00e1mide"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 13 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Una pir\u00e1mide de base cuadrada tiene todas sus caras triangulares formadas por tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros, de la misma longitud L.<\/p>\n<p>Cortamos esta pir\u00e1mide por un plano paralelo a la base y proyectamos sobre la base los cuatro puntos de corte de este plano con las aristas.<\/p>\n<p>De esta forma, queda definido un cubo. Podemos ver un dibujo en la imagen siguiente.<\/p>\n<p>\u00bfQu\u00e9 porcentaje del volumen de la pir\u00e1mide queda ocupado por este cubo?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1847\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/11\/171.Cuboenpiramide.gif\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"299\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nLa proporci\u00f3n entre el volumen del cubo y de la pir\u00e1mide es independiente del tama\u00f1o de la pir\u00e1mide, ya que si escalas la pir\u00e1mide, tambi\u00e9n escalas el cubo. Por tanto, voy a fijar durante todo el razonamiento esta longitud en 2 unidades para que los c\u00e1lculos sean sencillos. Tambi\u00e9n es posible tomar una variable 2m = L, con objeto de simplificar los c\u00e1lculos, en el caso en que se decida seguir usando una variable.<\/p>\n<p>Una buena decisi\u00f3n a la hora de tratar con figuras tridimensionales es hacer una secci\u00f3n plana para trabajar en plano, de forma que en esta ocasi\u00f3n voy a cortar por el centro del lado del cuadrado, de forma que obtendremos la altura de dos de las caras laterales como lados de la secci\u00f3n. Tambi\u00e9n ser\u00eda posible trabajar con una secci\u00f3n que tomara la diagonal de la base. Los c\u00e1lculos ser\u00edan similares, y el resultado final el mismo.<\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n tenemos una imagen de c\u00f3mo quedar\u00eda la secci\u00f3n, con el exterior con forma de tri\u00e1ngulo y el cubo que se aprecia como un cuadrado inscrito en el tri\u00e1ngulo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/12\/171.Cuboenpiramide2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1850\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/12\/171.Cuboenpiramide2.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2020\/12\/171.Cuboenpiramide2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nLa base mide, evidentemente, 2 unidades. Las alturas de los tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros, si se tienen en cuenta que forman un cateto de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que tiene una hipotenusa de 2 y otro cateto de 1, debe medir ra\u00edz(2\u00b2 \u2013 1\u00b2) = ra\u00edz(3).<\/p>\n<p>Por lo tanto, el borde de nuestra secci\u00f3n es un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles con una base que mide 2 y dos lados iguales que miden ra\u00edz(3). Su altura (l\u00ednea discontinua en el dibujo), que coincide con la altura de la pir\u00e1mide, forma un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de hipotenusa ra\u00edz(3), y cuyo otro cateto mide 1, por lo que esta altura mide exactamente ra\u00edz(ra\u00edz(3)\u00b2 \u2013 1\u00b2) = ra\u00edz(3 \u2013 1) = ra\u00edz(2).<\/p>\n<p>Si nos fijamos en la secci\u00f3n cuadrada, genera dos tri\u00e1ngulos semejantes al tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo descrito anteriormente. Puesto que necesitamos el lado de ese cuadrado, que coincide con el lado del cubo inscrito en la pir\u00e1mide, supondremos que mide 2x, y por semejanza, tenemos que ra\u00edz(2)\/1 = 2x\/(1 \u2013 x), de forma que (1 \u2013 x)\u00b7ra\u00edz(2) = 2x, y por tanto ra\u00edz(2) \u2013 ra\u00edz(2)x = 2x, y tenemos que ra\u00edz(2) = 2x + ra\u00edz(2)x = (2 + ra\u00edz(2))x.<\/p>\n<p>Para averiguar el valor de esa x, primero multiplicaremos por el conjugado de este coeficiente, para que la x quede multiplicada por un n\u00famero entero, (2 \u2013 ra\u00edz(2)), teniendo la igualdad (2 \u2013 ra\u00edz(2))\u00b7ra\u00edz(2) = 2x. Operando, resulta que 2ra\u00edz(2) \u2013 2 = 2x, luego x = ra\u00edz(2) \u2013 1.<\/p>\n<p>Esto significa que el lado del cubo es el doble, es decir 2ra\u00edz(2) \u2013 2, aproximadamente 0,8284.<\/p>\n<p>Calculemos ahora los vol\u00famenes de las figuras. El volumen de la pir\u00e1mide se calcula como un tercio del \u00e1rea de la base por la altura, es decir, 4\u00b7ra\u00edz(2)\/3, aproximadamente 1,886 unidades c\u00fabicas.<\/p>\n<p>Por otro lado, el volumen del cubo ser\u00e1 (2ra\u00edz(2) \u2013 2)\u00b3 = 16ra\u00edz(2) \u2013 48 + 24ra\u00edz(2) \u2013 8 = 40ra\u00edz(2) \u2013 56, aproximadamente 0,5685 unidades c\u00fabicas.<\/p>\n<p>El cociente de ambos n\u00fameros ser\u00e1  (40ra\u00edz(2) \u2013 56)\/(4\u00b7ra\u00edz(2)\/3), que es mejor racionalizar, obteniendo 30 \u2013 21raiz(2) , aproximadamente 0,3015.<br \/>\nEso quiere decir que el porcentaje del volumen de la pir\u00e1mide ocupado por el cubo es del 30,15%.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 13 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Una pir\u00e1mide de base cuadrada tiene todas sus caras triangulares formadas por tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros, de la misma longitud L. 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