{"id":1856,"date":"2020-12-12T08:19:04","date_gmt":"2020-12-12T08:19:04","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1856"},"modified":"2020-12-12T08:19:04","modified_gmt":"2020-12-12T08:19:04","slug":"solucion-a-un-hexagono-en-un-triangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/12\/12\/solucion-a-un-hexagono-en-un-triangulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un hex\u00e1gono en un tri\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"
Problema 14 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
En un tri\u00e1ngulo acut\u00e1ngulo trazamos, desde el punto medio de cada lado, las dos perpendiculares a los otros dos lados.
\nJustifica que estas 6 rectas forman un hex\u00e1gono.<\/p>\n
\u00bfQu\u00e9 valor tiene la raz\u00f3n entre las \u00e1reas del tri\u00e1ngulo y del hex\u00e1gono?<\/p>\n
Demuestra que la raz\u00f3n que has calculado es constante, es decir, no depende de cu\u00e1l sea el tri\u00e1ngulo inicial.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nQue esas 6 rectas forman un hex\u00e1gono es muy sencillo de ver. Puesto que el tri\u00e1ngulo es acut\u00e1ngulo, las rectas perpendiculares a los lados cortan a esos lados en el interior del tri\u00e1ngulo, formando con el v\u00e9rtice un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo cuyo \u00e1ngulo es el \u00e1ngulo interno entre el lado de partida y el lado al que es perpendicular. Por lo tanto, estas rectas se cortan en el interior del tri\u00e1ngulo en tres puntos, que junto con los puntos medios de los lados forman el hex\u00e1gono.<\/p>\n
Dicho hex\u00e1gono tiene lados paralelos dos a dos, pero no tiene por qu\u00e9 ser regular.<\/p>\n
Cuando no sabemos calcular una de estas \u00e1reas, podemos recurrir a escribir el tri\u00e1ngulo en coordenadas. Si elegimos correctamente los ejes, no depender\u00e1 de demasiadas variables.<\/p>\n
Por ejemplo, podemos elegir un lado y utilizar para \u00e9l la longitud de 2 unidades (el tama\u00f1o en que medimos se puede ajustar, y en cualquier caso, las unidades en las que medimos el cociente de \u00e1reas es irrelevante).<\/p>\n
Elijo 2 unidades porque voy a utilizar los puntos medios. Adem\u00e1s, uno de los lados lo voy a situar sobre el eje x, y apoyado en el origen.<\/p>\n
Puesto que el tri\u00e1ngulo es acut\u00e1ngulo, voy a poner las coordenadas del primer v\u00e9rtice en (0,0), el segundo en (2, 0), y el tercero tendr\u00e1 la forma (2a, 2b), siendo a un valor entre 0 y 1, y b un n\u00famero positivo. As\u00ed, el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo ser\u00e1 2\u00b72b\/2 = 2b.<\/p>\n
El punto medio de los tres lados, intermedios entre los pares de v\u00e9rtices, ser\u00e1n el (1, 0), el (a, b) y el (1 + a, b). <\/p>\n
Mientras estaba haciendo esto, en un dibujo he unido los puntos medios y he conseguido entender algo que puede que encamine la soluci\u00f3n del problema.
\n\"\"
\nAl unir los puntos medios de los lados, el tri\u00e1ngulo original queda cortado en cuatro tri\u00e1ngulos semejantes, iguales entre s\u00ed, uno de los cuales est\u00e1 girado. Sin embargo, los otros tienen unas l\u00edneas interiores, algunas de las cuales son paralelas.<\/p>\n
Estas l\u00edneas interiores de los tri\u00e1ngulos peque\u00f1os son alturas, y, claro, en los tres casos se cortan en el ortocentro de los tri\u00e1ngulos, as\u00ed que en el fondo se trata de la misma figura repetida.
\n\"\"
\nY las tres partes del hex\u00e1gono que est\u00e1n fuera del tri\u00e1ngulo central, son un fragmento de los tres en que se puede dividir uno de los tri\u00e1ngulos peque\u00f1os desde el ortocentro.<\/p>\n
Por lo tanto, el \u00e1rea del hex\u00e1gono es el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo central m\u00e1s la suma de tres trozos con los que se puede construir otro tri\u00e1ngulo id\u00e9ntico.
\n\"\"
\nLuego el \u00e1rea del hex\u00e1gono constituye dos de los cuatro tri\u00e1ngulos id\u00e9nticos en que se divide el tri\u00e1ngulo original, luego representa la mitad del \u00e1rea del tri\u00e1ngulo. La raz\u00f3n entre el tri\u00e1ngulo y el hex\u00e1gono, que era lo que se nos ped\u00eda, es de 2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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