{"id":1866,"date":"2020-12-19T09:22:28","date_gmt":"2020-12-19T09:22:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1866"},"modified":"2020-12-19T09:22:28","modified_gmt":"2020-12-19T09:22:28","slug":"solucion-a-numero-de-divisores","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2020\/12\/19\/solucion-a-numero-de-divisores\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00famero de divisores"},"content":{"rendered":"
Problema 15 del concurso marat\u00f3 de problemes 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Consideramos el conjunto An<\/sub> = {1, 2, 3, \u2026 , 10n \u2013 1<\/sup>, 10n<\/sup>} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10n<\/sup>.<\/p>\n
a) Razona cu\u00e1ntos n\u00fameros del conjunto An<\/sub> son m\u00faltiplos de 2 o m\u00faltiplos de 3.<\/p>\n
b) Razona cu\u00e1ntos n\u00fameros del conjunto An<\/sub> son m\u00faltiplos de 8 o m\u00faltiplos de 11.<\/p>\n
Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean m\u00faltiplos de ambos n\u00fameros. Naturalmente, la respuesta se dar\u00e1 en funci\u00f3n de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEmpecemos por trabajar el apartado (a).<\/p>\n
Es f\u00e1cil contar el n\u00famero de m\u00faltiplos de 2, ser\u00e1 10n<\/sup>\/2, ya que la mitad de n\u00fameros son pares. <\/p>\n
Contar el n\u00famero de divisores de 3 es m\u00e1s dif\u00edcil, ya que 10n<\/sup> no es divisible entre 3, pero 10n<\/sup> \u2013 1 siempre lo es (est\u00e1 formado por cifras 9 y es sencillo de probar), as\u00ed que el n\u00famero de m\u00faltiplos de 3 ser\u00e1 (10n<\/sup> \u2013 1)\/3.<\/p>\n
Sumarlos no dar\u00e1 el total, ya que los que sean m\u00faltiplos a la vez de ambos, que ser\u00e1n los m\u00faltiplos de 6, resultar\u00e1n contados dos veces, as\u00ed que deber\u00edamos restar esta cantidad.<\/p>\n
Para calcularla, debemos encontrar el n\u00famero m\u00e1s pr\u00f3ximo a 10n<\/sup> que sea divisible entre 6. Evidentemente  10n<\/sup> \u2013 1 no es par, pero  10n<\/sup> \u2013 4 s\u00ed, as\u00ed que ser\u00e1  (10n<\/sup> \u2013 4)\/6.<\/p>\n
En definitiva, la cantidad que buscamos es, en funci\u00f3n de n,  10n<\/sup>\/2 + (10n<\/sup> \u2013 1)\/3 \u2013 (10n<\/sup> \u2013 4)\/6 =  3\u00b710n<\/sup>\/6 + (2\u00b710n<\/sup> \u2013 2)\/6 \u2013 (10n<\/sup> \u2013 4)\/6 = (4\u00b710n<\/sup> + 2)\/6.<\/p>\n
El apartado (b) es un poco m\u00e1s enrevesado.<\/p>\n
La cantidad de m\u00faltiplos de 8 se debe calcular de formas diferentes seg\u00fan el valor de n.<\/p>\n
Para n = 1, da 1<\/p>\n
Para n = 2, da 12<\/p>\n
Para n superior a 2, 10n<\/sup> es m\u00faltiplo de 8, as\u00ed que ser\u00e1 10n<\/sup>\/8.<\/p>\n
La cantidad de m\u00faltiplos de 11 tambi\u00e9n se debe calcular de formas diferentes seg\u00fan el valor de n.<\/p>\n
Para n = 1 no hay.<\/p>\n
Para n = 2 ser\u00e1 un total de 9.<\/p>\n
Para n superior a 2, deberemos distinguir el caso par y el caso impar.<\/p>\n
Si n es par, el n\u00famero de m\u00faltiplos ser\u00e1 (10n<\/sup> \u2013 1)\/11, puesto que 10n<\/sup> \u2013 1 es m\u00faltiplo de 11.<\/p>\n
Si n es impar, el n\u00famero de m\u00faltiplos ser\u00e1 (10n<\/sup> \u2013 10)\/11, ya que el m\u00faltiplo de 11 m\u00e1s pr\u00f3ximo es 10n<\/sup> \u2013 10.<\/p>\n
La forma de razonar este detalle es plantearse que 10 = (11) \u2013 1 (donde (11) es una manera sencilla de escribir los m\u00faltiplos de 11, y estudiar por inducci\u00f3n la congruencia apropiada para 10n<\/sup>, que en el caso par es (11) + 1 y en el impar (11) \u2013 1.<\/p>\n
Ahora hay que ver cu\u00e1ntos n\u00fameros son m\u00faltiplos de 88. Lo m\u00e1s r\u00e1pido es ir bajando (para valores de n mayores que 2) desde el \u00faltimo m\u00faltiplo de 11, de 11 en 11, hasta encontrar uno que sea m\u00faltiplo de 8.<\/p>\n
Para n = 1 no hay, y para n = 2 s\u00f3lo hay 1.<\/p>\n
Para n mayor que 2, en el caso de n par se tratar\u00e1 de (10n<\/sup> \u2013 56)\/88, y en el caso de n impar ser\u00e1 (10n<\/sup> \u2013 32)\/88.<\/p>\n
As\u00ed, la f\u00f3rmula buscada ser\u00e1 la detallada a continuaci\u00f3n.<\/p>\n
Para n = 1, hay 1 n\u00famero.<\/p>\n
Para n = 2, hay 20 n\u00fameros.<\/p>\n
Y para valores de n mayores que 2, tendremos que, si n es par,  10n<\/sup>\/8 + (10n<\/sup> \u2013 1)\/11 \u2013 (10n<\/sup> \u2013 56)\/88 = (18\u00b710n<\/sup> + 48)\/88 = (9\u00b710n<\/sup> + 24)\/44. Y si n es impar,  10n<\/sup>\/8 + (10n<\/sup> \u2013 10)\/11 \u2013 (10n<\/sup> \u2013 32)\/88 = (18\u00b710n<\/sup> \u2013 48)\/88 = (9\u00b710n<\/sup> \u2013 24)\/44.<\/p>\n
Claro que, si esta \u00faltima f\u00f3rmula queremos unificarla, podemos emplear (-1)n<\/sup> que es de diferente signo seg\u00fan la paridad de n, y tendremos que es (9\u00b710n<\/sup> + (-1)n<\/sup>\u00b724)\/44. Esta f\u00f3rmula s\u00f3lo es v\u00e1lida para n mayor que 2, ya que, como se ha indicado, los casos 1 y 2 la potencia de 10 no es m\u00faltiplo de 8 y la f\u00f3rmula no da un valor entero.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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