{"id":1919,"date":"2021-01-30T06:49:13","date_gmt":"2021-01-30T06:49:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1919"},"modified":"2021-01-30T06:49:13","modified_gmt":"2021-01-30T06:49:13","slug":"solucion-a-ecuacion-racional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/01\/30\/solucion-a-ecuacion-racional\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n racional"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 del concurso Olitele 2020\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Calcula cu\u00e1ntas soluciones (x, y), que sean pares de enteros positivos, tiene la ecuaci\u00f3n 2\/x + 6\/y = 1.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1914\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/01\/179.Ecuacionracional.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/01\/179.Ecuacionracional.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/01\/179.Ecuacionracional-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEliminando denominadores mediante la estrategia de multiplicar la ecuaci\u00f3n por x y por y, obtenemos 2y + 6x = xy.<\/p>\n<p>Evidentemente, puesto que 2y + 6x es par, uno de los dos factores, x o y, debe ser par.<\/p>\n<p>Si x es par, tomemos x = 2a<\/p>\n<p>Dividiendo por 2 nuestra ecuaci\u00f3n, tenemos que y + 6a = ay. Despu\u00e9s de intentar varias cosas, he optado por despejar la y:<\/p>\n<p>6a = ay \u2013 y<\/p>\n<p>6a = (a \u2013 1)y<\/p>\n<p>6a\/(a \u2013 1) = y<\/p>\n<p>Como resulta que debe ser un entero, 6 debe ser divisible entre a \u2013 1, ya que a y a \u2013 1 no tienen divisores comunes:<\/p>\n<p>a = 2, y = 12, x = 4, <\/p>\n<p>a = 3, y = 9, x = 6<\/p>\n<p>a = 4, y = 8, x = 8<\/p>\n<p>a = 7, y = 7, x = 14<\/p>\n<p>Si a = 0, y = 0 (lo que es imposible por el papel que juega y en la ecuaci\u00f3n original)<\/p>\n<p>a = -1, y = 3, x = -2<\/p>\n<p>a = -2, y = 4, x = -4<\/p>\n<p>a = -5, y = 5, x = -10<\/p>\n<p>Ahora, supongamos que x es impar, luego y debe ser par, por lo que y = 2b, x = 2a + 1<\/p>\n<p>La igualdad 2y + 6x = xy se transforma en 4b + 12a + 6 = 4ab + 2b, es decir, b + 6a + 3 = 2ab, por lo que 2ab \u2013 b = 6a + 3, por lo que b(2a \u2013 1) = 3(2a + 1), y b = 3(2a + 1)\/(2a \u2013 1), as\u00ed que 2a \u2013 1 debe dividir a 3, ya que 2a + 1 y 2a \u2013 1 no tienen de nuevo divisores comunes, por lo que tenemos las posibilidades siguientes:<\/p>\n<p>a = 2, b = 5, x = 5, y = 10<\/p>\n<p>a = 1, b = 9, x = 3, y = 18<\/p>\n<p>a = 0, b = -3, x = 1, y = -6<\/p>\n<p>a = -1, b = 1, x = -1, y = 2<\/p>\n<p>La soluciones, por tanto, son 11:<\/p>\n<p>(-1, 2), (1, -6), (3, 18), (5, 10), (-10, 5), (-4, 4), (-2, 3), (14, 7), (8, 8), (6, 9) y (4, 12) <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 del concurso Olitele 2020 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Calcula cu\u00e1ntas soluciones (x, y), que sean pares de enteros positivos, tiene la ecuaci\u00f3n 2\/x + 6\/y = 1. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242014,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1919","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-olitele","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1919","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1919"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1919\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1920,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1919\/revisions\/1920"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1919"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1919"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1919"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}