{"id":1924,"date":"2021-02-06T10:54:12","date_gmt":"2021-02-06T10:54:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1924"},"modified":"2021-02-06T10:54:12","modified_gmt":"2021-02-06T10:54:12","slug":"solucion-a-insertar-un-cero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/02\/06\/solucion-a-insertar-un-cero\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a insertar un cero"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Determinar todos los n\u00fameros de cuatro cifras abcd tales que al insertar un d\u00edgito 0 en cualquier posici\u00f3n se obtiene un m\u00faltiplo de 7.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1922\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/01\/180.Insertaruncero.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/01\/180.Insertaruncero.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/01\/180.Insertaruncero-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEs una cuesti\u00f3n bastante sencilla, pero la clave para obtener todos los puntos est\u00e1 en explicarlo bien.<\/p>\n<p>Observando lo que sucede en casos particulares, lo que debemos plantearnos es c\u00f3mo son los diferentes n\u00fameros que obtenemos insertando una cifra cero (hay un detalle importante en que al leer \u201cen cualquier posici\u00f3n\u201d debemos pensar que el cero es posible insertarlo tambi\u00e9n en primera o \u00faltima posici\u00f3n).<\/p>\n<p>Para obtener informaci\u00f3n podemos tratar de \u201cverlo\u201d con los n\u00fameros de dos cifras, que hay pocos m\u00faltiplos de 7 entre ellos (es evidente que insertar un cero en la primera posici\u00f3n lo deja igual), estudiando qu\u00e9 les ocurre a los diferentes n\u00fameros.<\/p>\n<p>Hay un ejemplo en el dibujo de un n\u00famero de cuatro cifras al que se le ha insertado un n\u00famero en las cinco posiciones posibles.<\/p>\n<p>Ahora bien, si los n\u00fameros son m\u00faltiplos de 7, su diferencia tambi\u00e9n lo ser\u00e1, y en ella eliminaremos la mayor parte de las cifras.<\/p>\n<p>En efecto, si restamos, por ejemplo, 30457 y 03457, obtenemos 27000, que evidentemente no es m\u00faltiplo de 7.<\/p>\n<p>Algebraicamente el n\u00famero abcd se puede expresar como 1000a + 100b + 10c + d. Entonces, la diferencia entre 10000a + 100b + 10c + d y 1000a + 100b + 10c + d es 9000a, y si debe ser m\u00faltiplo de 7, tambi\u00e9n lo debe ser a.<\/p>\n<p>Eso se puede apreciar para cualquier cifra del n\u00famero, por lo que todas ellas deben ser, bien 7 o bien 0. Excepto la primera, que debe ser diferente de cero para que el n\u00famero sea considerado de cuatro cifras propiamente.<\/p>\n<p>Por lo tanto, los n\u00fameros con esta propiedad ser\u00e1n 7000, 7007, 7070, 7077, 7700, 7707, 7770 y 7777, un total de 8 n\u00fameros.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Determinar todos los n\u00fameros de cuatro cifras abcd tales que al insertar un d\u00edgito 0 en cualquier posici\u00f3n se obtiene un m\u00faltiplo de 7. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1924","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1924","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1924"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1924\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1925,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1924\/revisions\/1925"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1924"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1924"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1924"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}