{"id":1942,"date":"2021-02-20T19:12:18","date_gmt":"2021-02-20T19:12:18","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1942"},"modified":"2021-02-20T19:12:18","modified_gmt":"2021-02-20T19:12:18","slug":"solucion-a-triangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/02\/20\/solucion-a-triangulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tri\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En el tri\u00e1ngulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente.<br \/>\nSe consideran puntos G y H, en los segmentos BD y CD, respectivamente, tales que el \u00e1ngulo GID es igual a ABC, y HID es igual a ACB. Probar que BHE = CGF<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1939\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nUna vez dibujamos lo que sabemos y nuestro objetivo, es hora de marcar \u00e1ngulos.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo1.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1943\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo1.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo1-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nEl \u00e1ngulo DAB, que es la mitad de CAB (no olvidemos que las rectas que se cortan son las bisectrices) tambi\u00e9n se repite en DGI, ya que el tri\u00e1ngulo DAB y el DGI coinciden en el \u00e1ngulo D, es decir, tienen ese \u00e1ngulo igual, pero tambi\u00e9n en el \u00e1ngulo DIG, que es el mismo que DBA. De hecho, son tri\u00e1ngulos semejantes, s\u00f3lo que est\u00e1n en una posici\u00f3n invertida.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1944\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo2.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nRepitiendo el razonamiento al otro lado, con los tri\u00e1ngulos DAC y DIH, tendr\u00edamos que el \u00e1ngulo DHI es igual que el CAD, que de nuevo es la mitad de CAB.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo3.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1945\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo3.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/02\/182.Triangulo3-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nUna vez razonado este punto, es sencillo ver que los tri\u00e1ngulos BIH y BIA son sim\u00e9tricos, es decir, son id\u00e9nticos, as\u00ed que los puntos A y H son sim\u00e9tricos, y el \u00e1ngulo EHI es, realmente, id\u00e9ntico a CAD. De la misma forma, IGF es igual, y por tanto entre s\u00ed son iguales.<\/p>\n<p>Este problema, aunque se pueda explicar de manera sencilla, no es tan f\u00e1cil como cabr\u00eda esperar, ya que hay que trabajar en ir buscando \u00e1ngulos repetidos y completar tri\u00e1ngulos hasta encontrar alguna igualdad que nos permita llegar a las conclusiones.<\/p>\n<p>Se puede trabajar con varios razonamientos similares. Al final, GI y HI son bisectrices de DHE y FGD, que a su vez son copia de CAB. Y eso se puede probar de diversas formas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os En el tri\u00e1ngulo ABC con lado mayor BC, las bisectrices se cortan en I. Las rectas AI, BI y CI cortan a BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente. 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