{"id":1951,"date":"2021-02-27T09:38:39","date_gmt":"2021-02-27T09:38:39","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1951"},"modified":"2021-02-27T09:41:25","modified_gmt":"2021-02-27T09:41:25","slug":"solucion-a-potencia-con-tres-impares","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/02\/27\/solucion-a-potencia-con-tres-impares\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a potencia con tres impares"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Al desarrollar (1 + x + x\u00b2)n<\/sup> en potencias de x, exactamente tres t\u00e9rminos tienen coeficiente impar.<\/p>\n
\u00bfPara qu\u00e9 valores de n es esto posible?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLos primeros intentos deben ser manipulativos, con objeto de comprender c\u00f3mo funciona la operaci\u00f3n propuesta y establecer una hip\u00f3tesis sobre qu\u00e9 valores de n tienen esa propiedad.<\/p>\n
De esta forma, calcular\u00edamos (1 + x + x\u00b2)\u00b2 = 1 + x + x\u00b2 + x + x\u00b2 + x\u00b3 + x\u00b2 + x\u00b3 + x\u2074 = 1 + 2x + 3x\u00b2 + 2x\u00b3 + x\u2074, que tiene exactamente tres t\u00e9rminos con un coeficiente impar, por tanto n = 2 cumple las condiciones pedidas (y n = 1 tambi\u00e9n, claro).<\/p>\n
Por otra parte, (x\u00b2 + x + 1)\u00b3 = (x\u00b2 + x + 1)\u00b2\u00b7(x\u00b2 + x + 1) = (1 + 2x + 3x\u00b2 + 2x\u00b3 + x\u2074)(x\u00b2 + x + 1) =  1 + 2x + 3x\u00b2 + 2x\u00b3 + x\u2074 + x + 2x\u00b2 + 3x\u00b3 + 2x\u2074 + x\u2075 + x\u00b2 + 2x\u00b3 + 3x\u2074 + 2x\u2075 + x\u2076 = 1 + 3x + 6x\u00b2 + 7x\u00b3 + 6x\u2074 + 3x\u2075 + x\u2076, con lo que n = 3 no tiene 3, si no 5 coeficientes impares.<\/p>\n
Antes de parar, vamos a probar por \u00faltima vez, (x\u00b2 + x + 1)\u2074 = (x\u00b2 + x + 1)\u00b3\u00b7(x\u00b2 + x + 1) = (1 + 3x + 6x\u00b2 + 7x\u00b3 + 6x\u2074 + 3x\u2075 + x\u2076)(x\u00b2 + x + 1) =  1 + 3x + 6x\u00b2 + 7x\u00b3 + 6x\u2074 + 3x\u2075 + x\u2076 + x + 3x\u00b2 + 6x\u00b3 + 7x\u2074 + 6x\u2075 + 3x\u2076 + x\u2077 + x\u00b2 + 3x\u00b3 + 6x\u2074 + 7x\u2075 + 6x\u2076 + 3x\u2077 + x\u2078 =  1 + 4x + 10x\u00b2 + 16x\u00b3 + 19x\u2074 + 16x\u2075 + 10x\u2076 + 4x\u2077 + x\u2078. Evidentemente, n = 4 tambi\u00e9n cumple la condici\u00f3n.<\/p>\n
A partir de aqu\u00ed, vista la complejidad de continuar, podemos tomar la decisi\u00f3n de cambiar los coeficientes y fijarnos \u00fanicamente en la paridad, es decir, poner un 0 cuando sean pares y un 1 cuando sean impares, ya que al multiplicar por un coeficiente par, da un coeficiente par tambi\u00e9n, y sumarlo a otros coeficientes no cambia su paridad (se comporta exactamente como har\u00eda un cero, al multiplicar hace cero, y al sumar no cambia a los dem\u00e1s), mientras que el 1 al multiplicar por otro 1 sigue dando impar. La \u00fanica diferencia con los n\u00fameros \u201cnormales\u201d ser\u00e1 que al sumar un 1 y otro 1, situaremos un cero, pues el resultado da un valor par. Este m\u00e9todo de trabajo se conoce como trabajar con aritm\u00e9tica de reloj de m\u00f3dulo 2, trabajar con paridad o usar coeficientes m\u00f3dulo 2.<\/p>\n
Observamos la ganancia de velocidad de este m\u00e9todo:<\/p>\n
(1 + x + x\u00b2)\u00b2 = 1 + x + x\u00b2 + x + x\u00b2 + x\u00b3 + x\u00b2 + x\u00b3 + x\u2074 = 1 + x\u00b2 +  x\u2074<\/p>\n
(1 + x + x\u00b2)\u00b3 = (1 + x + x\u00b2)\u00b2(1 + x + x\u00b2) = (1 + x\u00b2 +  x\u2074)(1 + x + x\u00b2) =1 + x + x\u00b2 + x\u00b2 + x\u00b3 + x\u2074 + x\u2074 + x\u2075 + x\u2076 = 1 + x + x\u00b3 +  x\u2075 + x\u2076<\/p>\n
(1 + x + x\u00b2)\u2074 = (1 + x + x\u00b2)\u00b3(1 + x + x\u00b2) = (1 + x + x\u00b3 +  x\u2075 + x\u2076)(1 + x + x\u00b2) =1 + x + x\u00b2 + x + x\u00b2 + x\u00b3 + x\u00b3 + x\u2074 + x\u2075 + x\u2075 + x\u2076 + x\u2077 + x\u2076 + x\u2077 + x\u2078 = 1 + x\u2074 + x\u2078<\/p>\n
Es m\u00e1s, si situamos en una cuadr\u00edcula simulada los coeficientes (en mi caso, us\u00e9 una hoja en blanco para posicionarlos a mano, pero en casa trabaj\u00e9 con una hoja de c\u00e1lculo), dejando s\u00f3lo unos y ceros para representar si ese grado est\u00e1 o no est\u00e1, la cosa se pone interesante, ya que las sucesivas potencias funcionan como un tri\u00e1ngulo de pascal, s\u00f3lo que de tres en tres, es decir, cada nuevo coeficiente es suma de los tres que tiene arriba, arriba a la derecha, y arriba a la izquierda.<\/p>\n
Para que se vea en el dibujo, he dado formato a las celdas para que se muestren los ceros de color blanco sobre fondo rojo y los unos, rojos sobre fondo blanco.
\n\"\"
\nSe puede apreciar que emerge un patr\u00f3n con una trama muy clara, sim\u00e9trico, y que nos permite encontrar las claves para acabar la demostraci\u00f3n.
\n\"\"
\nBueno, tras este dibujo, no queda probado a\u00fan nada, pero ya podemos hacer una conjetura: los valores de n con exactamente 3 valores impares son las potencias de 2 (n = 1, 2, 4, 8, \u2026)<\/p>\n
Veamos c\u00f3mo demostrarlo.<\/p>\n
Hemos visto que en los casos n = 1, 2 y 4 es cierto, s\u00f3lo hay 3 posiciones con coeficiente impar (1 en nuestra versi\u00f3n simplificada), el t\u00e9rmino independiente, la potencia de grado n y la de grado 2n.<\/p>\n
Supongamos que es cierto para un determinado valor n y veamos que se cumple para 2n (la siguiente potencia de 2).<\/p>\n
Puesto que, en nuestra aritm\u00e9tica de pares impares, (1 + x + x\u00b2)n<\/sup> = 1 + xn<\/sup> + x2n<\/sup>, por hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, resulta que (1 + x + x\u00b2)2n<\/sup> = ((1 + x + x\u00b2)n<\/sup>)\u00b2 = (1 + x + x\u00b2)n<\/sup>(1 + x + x\u00b2)n<\/sup> = (1 + xn<\/sup> + x2n<\/sup>)(1 + xn<\/sup> + x2n<\/sup>) = 1 + xn<\/sup> + x2n<\/sup> + xn<\/sup> + x2n<\/sup> + x3n<\/sup> + x2n<\/sup> + x3n<\/sup> + x4n<\/sup> = 1 + x2n<\/sup> + x4n<\/sup>, que es exactamente lo que queremos demostrar (recuerda que cuando sumamos 1 y 1, da cero en nuestra aritm\u00e9tica).<\/p>\n
Mucho m\u00e1s dif\u00edcil es probar que los t\u00e9rminos no son potencia de 2 no tienen esta propiedad.<\/p>\n
De nuevo mirando el patr\u00f3n que ha quedado en la construcci\u00f3n anterior, se puede observar unos tri\u00e1ngulos en rojo que ocupan todo el espacio entre una potencia de 2 y la siguiente. Eso puede dar una idea de c\u00f3mo trabajar para probarlo.<\/p>\n
Debemos concentrarnos en buscar un cuarto elemento con coeficiente impar (1 en nuestra aritm\u00e9tica), y quedar\u00e1 probado que no hay exactamente 3.<\/p>\n
De hecho, es f\u00e1cil ver que todos los t\u00e9rminos tienen un 1 en el t\u00e9rmino primero (grado cero), en el grado n y en el grado 2n, por simetr\u00eda.<\/p>\n
Puesto que cada t\u00e9rmino se obtiene sumando tres consecutivos del polinomio anterior, la simetr\u00eda inicial se mantiene, por lo que el primer t\u00e9rmino y el \u00faltimo (que son id\u00e9nticos en todos los casos) tienen coeficiente 1, y el t\u00e9rmino central, evidentemente, tiene coeficiente impar, pues es suma de un impar (el antiguo central) y dos iguales, el anterior y el siguiente.<\/p>\n
De la misma forma que probamos que el t\u00e9rmino de potencia n = 2k<\/sup> tiene tres coeficientes 1 (impares), es sencillo ver que los t\u00e9rminos de potencia n = 2k<\/sup> + 2k + 1<\/sup> tiene exactamente 5, ya que son los que tiene n = 3 y se puede comprobar de la misma forma que se mantiene cada vez que la potencia n se duplica.<\/p>\n
En ese caso, los t\u00e9rminos que tienen un coeficiente 1 ser\u00e1n exactamente el de grado 0, el de grado 2k<\/sup>, el de grado 2k<\/sup> + 2k + 1<\/sup>, el de grado 22k<\/sup> + 22k + 2<\/sup> \u2013 2k<\/sup> y el de grado 22k<\/sup> + 22k + 2<\/sup>. (Para justificarlo debemos de comprobarlo por inducci\u00f3n). Dada la simetr\u00eda, basta comprobar los dos primeros.<\/p>\n
El siguiente paso, es que si tenemos un valor de n que no es exactamente uno de los que es potencia de 2, estar\u00e1 entre una potencia de 2 y la siguiente. Si no es de la forma del caso anterior (2k<\/sup> + 2k + 1<\/sup>), o bien es de la forma  2k<\/sup> + 2k+1<\/sup> + t. o bien es de la forma  2k + 1<\/sup> + t, para un valor de t entre 0 y  2k<\/sup>.<\/p>\n
Pero cuando uno de los polinomios de la secuencia tiene un hueco de exactamente p \u201cceros\u201d, el siguiente tiene un hueco de exactamente p \u2013 2 ceros, as\u00ed que seguro que encontramos un t\u00e9rmino que vale 1, adem\u00e1s de los \u201cseguros\u201d (el de grado 0, el de grado n y el de grado 2n).
\n\"\"
\n\u00bfPor qu\u00e9 sucede esto? Puesto que cada t\u00e9rmino se calcula sumando tres consecutivos del anterior, es evidente que el primero que coincida con el principio del hueco tendr\u00e1 un 1, al sumar el anterior al hueco con dos ceros, los siguientes valdr\u00e1n ceros, hasta el que est\u00e9 inmediatamente debajo del \u00faltimo, que tambi\u00e9n tendr\u00e1 un 1. Evidentemente, la longitud del hueco ser\u00e1 exactamente p \u2013 2.<\/p>\n
Y, claro, los t\u00e9rminos con una n de la forma  2k+1<\/sup> sabemos que tienen un hueco entre el t\u00e9rmino cero y el 2k + 1<\/sup> de exactamente 2k + 1<\/sup> \u2013 1 ceros, as\u00ed que si t est\u00e1 entre 0 y 2k<\/sup>, y n es de la forma 2k + 1<\/sup> + t, podemos predecir que el t\u00e9rmino de la posici\u00f3n t ser\u00e1 1.<\/p>\n
Y los t\u00e9rminos con una n de la forma 2k<\/sup> + 2k + 1<\/sup> hemos visto que tienen un hueco entre el t\u00e9rmino de grado 2k<\/sup> y el de grado 2k<\/sup> + 2k + 1<\/sup> de exactamente 2k + 1<\/sup> \u2013 1 ceros, as\u00ed que, de la misma forma que antes, si t est\u00e1 entre 0 y 2k<\/sup>, y n es de la forma 2k<\/sup> + 2k + 1<\/sup> + t, podemos predecir que el t\u00e9rmino de la posici\u00f3n 2k<\/sup> + t ser\u00e1 1.<\/p>\n
Se trata de un problema muy dif\u00edcil, en el que muy pocas personas llegaron a conjeturar la soluci\u00f3n, y muchos menos demostrar la condici\u00f3n definitiva, aunque algunas personas s\u00ed que probaron que los valores potencias de 2 ten\u00edan tres coeficientes impares por inducci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Al desarrollar (1 + x + x\u00b2)n en potencias de x, exactamente tres t\u00e9rminos tienen coeficiente impar. \u00bfPara qu\u00e9 valores de n es esto posible? Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-1951","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1951","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1951"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1951\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1960,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1951\/revisions\/1960"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1951"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1951"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1951"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}