{"id":1965,"date":"2021-03-06T07:04:59","date_gmt":"2021-03-06T07:04:59","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1965"},"modified":"2021-03-06T07:04:59","modified_gmt":"2021-03-06T07:04:59","slug":"solucion-a-torneo-de-ajedrez","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/03\/06\/solucion-a-torneo-de-ajedrez\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a torneo de ajedrez"},"content":{"rendered":"
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
En un torneo de ajedrez participan 8 maestros durante 7 d\u00edas.<\/p>\n
Cada d\u00eda se disputan 4 partidas en las cuales participan todos los maestros, y al finalizar el torneo todos se han enfrentado contra todos exactamente una vez.<\/p>\n
Demuestra que, al terminar el quinto d\u00eda del torneo, existe un conjunto de al menos 4 maestros que ya han jugado entre ellos todas las partidas.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEn este problema, la clave es tratar de estudiar lo que sucede en las dos \u00faltimas jornadas que quedan, para saber cu\u00e1les son los cuatro (al menos) rivales que ya se han enfrentado en las cinco jornadas previas.<\/p>\n
Vamos a hacer una tabla de doble entrada en la que marquemos los que juegan en las \u00faltimas jornadas.<\/p>\n
La tabla que he usado para ilustrar la entrada representa el orden de una de las posibles formas en las que se desarrolla el torneo, pero puede que no sea la \u00fanica.<\/p>\n
Busquemos un par de jugadores que se enfrenten en la jornada 6 y pong\u00e1moslos en la parte alta de la tabla. Les llamaremos A y B.
\n\"\"
\nEl jugador B no puede repetir con A en la jornada 7, as\u00ed que C ser\u00e1 el jugador que juegue con \u00e9l, y lo pondremos el siguiente en la tabla. De forma similar, D ser\u00e1 el que juegue contra A en esa jornada. Evidentemente, son dos jugadores diferentes.
\n\"\"
\nA partir de aqu\u00ed, se plantean dos situaciones diferentes. En una de ellas, C y D juegan entre s\u00ed en la jornada 6. En ese caso (que llamaremos 1), buscamos otros dos jugadores que jueguen en la jornada 6 y repetimos la situaci\u00f3n, llam\u00e1ndoles en este caso E y F, y a los dos nuevos rivales, G y  H. Evidentemente, puesto que no queda m\u00e1s gente libre en la jornada 6, Estos dos \u00faltimos rivales deben jugar juntos.
\n\"\"
\nBuscando un poco en la tabla, vemos que en este caso 1, hay varios posibles grupos de 4 maestros que ya han jugado en otras jornadas, por ejemplo A \u2013 C \u2013 E \u2013 G, o B \u2013 D \u2013 F \u2013 H.<\/p>\n
Pero podr\u00eda ser que C y D no jugasen entre s\u00ed en la jornada 6 (caso 2), puede ser que cada uno de ellos juegue con un maestro diferente, que no puede ser ni A ni B. Pongamos que C juega contra E y D contra F. Evidentemente, G y H deben jugar juntos en esta jornada, porque son los \u00fanicos libres.<\/p>\n
Ahora bien, puesto que G y H juegan en la jornada 6, y en la 7 ya est\u00e1n ocupados A, B, C y D, o bien G juega con E y H con F (caso 2.1), o bien G juega con F y H con E (caso 2.2).
\n\"\"
\nEn el caso 2.1, explorando un poco, tenemos que A \u2013 C \u2013 F \u2013 G tambi\u00e9n han jugado todo ya.
\n\"\"
\nEn el caso 2.2, s\u00f3lo hay que buscar para ver que A \u2013 C \u2013 F \u2013 H ya han jugado todos los partidos.<\/p>\n
Con lo cual, queda probado que en todos los casos existe ese grupo de cuatro maestros que ya han jugado todos sus partidos entre ellos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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