{"id":1978,"date":"2021-03-13T12:30:29","date_gmt":"2021-03-13T12:30:29","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1978"},"modified":"2021-03-13T12:30:29","modified_gmt":"2021-03-13T12:30:29","slug":"solucion-a-cuadrilatero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/03\/13\/solucion-a-cuadrilatero\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cuadril\u00e1tero"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>ABCD es un cuadril\u00e1tero convexo, que verifica AB &gt; BC, CD = DA, y el \u00e1ngulo ABD es igual que el \u00e1ngulo DBC.<\/p>\n<p>Sea E el punto de la recta AB tal que el \u00e1ngulo DEB es un \u00e1ngulo recto.<\/p>\n<p>Prueba que AE = (AB \u2013 BC)\/2.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1976\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nUna de las claves para este tipo de problemas es c\u00f3mo realizas la construcci\u00f3n.<\/p>\n<p>Si tenemos dos lados iguales (que adem\u00e1s, comparten un v\u00e9rtice), podemos trazar una circunferencia de la que ambos lados ser\u00edan radios.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1979\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero2.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nEn un principio, podr\u00edamos pensar que el punto A puede ser cualquiera de los dos en los que la circunferencia corta a la recta AB, pero veremos que no puede ser as\u00ed m\u00e1s adelante.<\/p>\n<p>Ahora, observamos que la diagonal DB es la bisectriz de el \u00e1ngulo ABC, seg\u00fan las condiciones del problema, por lo que uno de los puntos de intersecci\u00f3n entre la recta AB y la circunferencia ser\u00eda el sim\u00e9trico de C respecto a esta diagonal, que llamaremos C\u2019.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero3.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-1980\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero3.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/03\/185.Cuadrilatero3-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nEse punto pertenece a la circunferencia por razones de simetr\u00eda (D es el centro de la circunferencia) y, evidentemente, era el otro candidato a ser A, pero no puede ser, puesto que en ese caso, AB ser\u00eda igual que BC por simetr\u00eda, en contra de lo que afirma el enunciado.<\/p>\n<p>Ahora bien, dada la construcci\u00f3n de E como perpendicular a la recta AC\u2019 = recta AB, est\u00e1 a la misma distancia de A que de C\u2019, puesto que es la altura de un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles (DC\u2019 y DA son radios de la misma circunferencia).<\/p>\n<p>Por lo tanto est\u00e1 claro que BC = BC\u2019 por simetr\u00eda, y AE = AC\u2019\/2, por lo que AE = (AB \u2013 BC\u2019)\/2 = (AB \u2013 BC)\/2, que es lo que deb\u00edamos demostrar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os ABCD es un cuadril\u00e1tero convexo, que verifica AB &gt; BC, CD = DA, y el \u00e1ngulo ABD es igual que el \u00e1ngulo DBC. 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