{"id":1985,"date":"2021-03-20T06:57:17","date_gmt":"2021-03-20T06:57:17","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1985"},"modified":"2021-03-20T06:57:17","modified_gmt":"2021-03-20T06:57:17","slug":"solucion-a-fracciones-sumadas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/03\/20\/solucion-a-fracciones-sumadas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a fracciones sumadas"},"content":{"rendered":"
Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Demostrar que todos los n\u00fameros racionales pueden expresarse como suma de algunas fracciones de la forma (n \u2013 1)\/(n + 2), con n >= 0 entero, admitiendo repetir sumandos.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nPor abreviar, llamaremos a la secuencia de n\u00fameros seg\u00fan su valor de n A(0), por ejemplo, ser\u00e1 (0 \u2013 1)\/(0 + 2) = -1\/2, A(1) = 0, A(2) = 1\/4, etc\u00e9tera.<\/p>\n
As\u00ed, en la secuencia vemos que, puesto que el denominador siempre es 3 unidades mayor que el numerador, en el caso de que uno de ellos sea m\u00faltiplo de 3 (como pasa por ejemplo para a(4)), se puede simplificar la fracci\u00f3n. Sin embargo, cuando no es as\u00ed, la fracci\u00f3n es irreducible, ya que cualquier m\u00faltiplo com\u00fan deber\u00eda ser m\u00faltiplo tambi\u00e9n de la diferencia, que es 3.<\/p>\n
Por tanto la sucesi\u00f3n de fracciones que necesitaremos est\u00e1 compuesta por {-1\/2, 0, 1\/4, 2\/5, 1\/2, 4\/7, 5\/8, 2\/3, 7\/10, 8\/11, 3\/4, 10\/13, 11\/14, \u2026}<\/p>\n
Lo primero que hacemos es jugar con las fracciones primeras de la secuencia para poder generar mediante sumas los n\u00fameros m\u00e1s sencillos.<\/p>\n
Por ejemplo, usando A(4) = 1\/2, podemos construir 1, y mediante sumas sucesivas todos los enteros positivos. El 0 forma parte de la secuencia (A(1)), y, puesto que tenemos A(0) = -1\/2, podemos tambi\u00e9n construir -1 y todos los enteros negativos.<\/p>\n
As\u00ed, es suficiente ver que podemos construir las fracciones positivas, y, a partir de \u00e9stas, sumando -1 las veces que sea necesario, todas las negativas.<\/p>\n
De hecho, basta ver que podemos construir las fracciones de la forma 1\/b, ya que sum\u00e1ndolas a veces podemos construir a\/b.<\/p>\n
Lo m\u00e1s complicado es construir 1\/b, para lo cual nos podemos fijar que 1\/2 est\u00e1 en la secuencia (A(4)), 1\/3 lo podemos construir usando A(7) + A(7) + A(0) + A(0) = 2\/3 + 2\/3 + (-1\/2) + (-1\/2).<\/p>\n
Para 1\/4, podemos hacer dos cosas diferentes. Usar directamente el t\u00e9rmino A(2), que es ese valor, evidentemente, o bien usar A(10) que es 3\/4 y sumarlo 3 veces hasta lograr 9\/4, y a\u00f1adirle 4 veces el t\u00e9rmino A(0). Cuando veamos el patr\u00f3n, entenderemos por qu\u00e9 hago esto.<\/p>\n
Para 1\/5, pasa algo similar. Puedo usar A(3), que es 2\/5, sumando 3 veces hasta lograr 6\/5 y sumar luego dos veces A(0), pero tambi\u00e9n puedo ir al A(13),que es 12\/15 = 4\/5, sumando 4 veces hasta lograr 16\/15, y despu\u00e9s sumar A(0) 6 veces. Aunque parezca m\u00e1s dif\u00edcil, el patr\u00f3n va a ser m\u00e1s claro luego.<\/p>\n
El n\u00famero 1\/6 es m\u00e1s dif\u00edcil de lograr, ya que en la lista que tenemos no sale ning\u00fan elemento de denominador 6. De hecho, no sale hasta el A(16) = 15\/18 = 5\/6, que si lo sumamos 5 veces nos da 25\/6 y si le sumamos 8 veces A(0) nos hace obtener el resultado deseado.<\/p>\n
Veamos si lo podemos generalizar ahora.<\/p>\n
Supongamos que queremos lograr la fracci\u00f3n 1\/k para un cierto valor k > 1. Por lo que hemos visto, parece que debemos partir siempre de una fracci\u00f3n que tiene el triple de denominador, as\u00ed que tendremos A(3k \u2013 2) = (3k \u2013 2 \u2013 1)\/(3k \u2013 2 + 2) = (3k \u2013 3)\/(3k) = (k \u2013 1)\/k.<\/p>\n
Ahora, parece que el siguiente paso ser\u00e1 sumar la fracci\u00f3n k \u2013 1 veces, obteniendo (k \u2013 1)\u00b2\/k = (k\u00b2 \u2013 2k + 1)\/k = k \u2013 2 + 1\/k, ya que la primera parte de la suma es divisible entre k.<\/p>\n
Evidentemente k \u2013 2 es un n\u00famero entero positivo, sumando 2k \u2013 4 veces (el doble de k \u2013 2) A(0), esta parte de la expresi\u00f3n desaparece se simplifica y obtenemos, en efecto, 1\/k.<\/p>\n
Seguramente en muchos casos hay m\u00e9todos sumando menos fracciones, pero seguro que no son tan generales.<\/p>\n
Por ejemplo, las fracciones 1\/k que no tengan un m\u00faltiplo de 3 en el denominador se puede emplear  la fracci\u00f3n A(k \u2013 2), que seguro que se puede trabajar con muchas menos. Como (k \u2013 3)\/k tiene numerador y denominador mutuamente primos, existe un par de n\u00fameros a y b de forma que a(k \u2013 3) \u2013 bk = 1 (debido a que 1 es el m\u00e1ximo com\u00fan divisor) y por tanto si sumas a veces la fracci\u00f3n tendr\u00e1s a(k \u2013 3)\/k = (bk + 1)\/k = b + 1\/k, que luego le sumas 2b veces A(0) y da 1\/k.<\/p>\n
Pero para las fracciones que sean de la forma 1\/k con k m\u00faltiplo de 3 creo que la forma m\u00e1s sencilla de obtenerlas ser\u00eda la que hemos encontrado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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