{"id":1990,"date":"2021-03-27T19:45:25","date_gmt":"2021-03-27T19:45:25","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=1990"},"modified":"2021-03-27T19:45:25","modified_gmt":"2021-03-27T19:45:25","slug":"solucion-a-igualdad-en-una-funcion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/03\/27\/solucion-a-igualdad-en-una-funcion\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a igualdad en una funci\u00f3n"},"content":{"rendered":"
Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Determinar todas las funciones f tales que f(xf(y) + y) = f(xy) + f(y) para todos los n\u00fameros reales x, y.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLas ecuaciones funcionales son toda una categor\u00eda en esta competici\u00f3n.<\/p>\n
En este caso, se trata de una igualdad que tiene sumas y multiplicaciones, y que se cumple para todos los valores reales. Suele ser \u00fatil ver qu\u00e9 significa para valores particulares de x e y que tengan propiedades relevantes para la multiplicaci\u00f3n y la suma, como por ejemplo el 0.<\/p>\n
En efecto, si obligamos a que x = y = 0, tenemos que f(0) = f(0) + f(0), lo que nos lleva a que f(0) = 0.<\/p>\n
En particular, si suponemos que f(x) = 0 para todo x, se cumple la ecuaci\u00f3n, por lo que es sencillo dar con una soluci\u00f3n.<\/p>\n
Ahora bien, supongamos que no es cierto que sea una funci\u00f3n constante, y veamos qu\u00e9 m\u00e1s podemos conseguir.<\/p>\n
Despu\u00e9s de trastear otros valores y no conseguir nada relevante, nos preguntamos \u00bfhabr\u00e1 otro valor t no nulo de forma que f(t) = 0? Si lo hay, tomando y = t, tendr\u00edamos que f(t) = f(xt) + f(t), con lo que f(xt) ser\u00eda 0 para cualquier x, y eso es imposible, ya que si t no es nulo, cualquier n\u00famero puede construirse como xt.<\/p>\n
Es decir, que si f no es constante, s\u00f3lo hay un valor que da 0. Si volvemos a ver la igualdad, observamos que es una igualdad en la que hay una f aplicada en un punto y dos f sumadas en el otro.<\/p>\n
Ya nos hemos planteado qu\u00e9 pasar\u00eda si el punto donde est\u00e1 tomada la funci\u00f3n de un lado coincide con el segundo, es decir, si xf(y) + y = y, pero qu\u00e9 pasar\u00eda si xf(y) + y coincide con xy, es decir, qu\u00e9 pasar\u00eda si xf(y) + y = xy. Lo que sucede es que y = xy \u2013 xf(y), por lo que y = x(y \u2013 f(y)), y entonces podr\u00edan suceder dos cosas, o f(y) = y, con lo que y = 0, o bien x = y\/(y \u2013 f(y)).<\/p>\n
Veamos qu\u00e9 pasa si probamos a sustituir este valor en la f\u00f3rmula, ya que una parte de la igualdad coincide con el otro extremo entero.<\/p>\n
Esto quiere decir, que si para alg\u00fan valor no nulo (en 0 ya sabemos que  f(0) = 0) es diferente y de f(y), podemos construir una x que valga y\/(y \u2013 f(y)), y al sustituirla en nuestra igualdad, tendremos que f(f(y)y\/(y \u2013 f(y)) + y) = f( f(y)y\/(y \u2013 f(y)) + y(y \u2013 f(y))\/(y \u2013 f(y))) = f(y\u00b2\/(y \u2013 f(y))), pero seg\u00fan nuestra igualdad inicial, eso es f(xy) + y = f(y\u00b2\/(y \u2013 f(y))) + f(y), es decir, que f(y) = 0, y por tanto y es nulo, en contra de la hip\u00f3tesis.<\/p>\n
Eso quiere decir que siempre sucede que y = f(y), es decir, que se trata de la funci\u00f3n f(x) = x, que tambi\u00e9n cumple la igualdad (en efecto, f(xf(y) + y) = f(xy + y) = xy + y, que es igual a f(xy) + f(y)).<\/p>\n
Por lo tanto las dos \u00fanicas funciones que cumplen la igualdad son f(x) = 0 y f(x) = x.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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