{"id":2041,"date":"2021-05-15T06:39:26","date_gmt":"2021-05-15T06:39:26","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2041"},"modified":"2021-05-15T06:39:26","modified_gmt":"2021-05-15T06:39:26","slug":"solucion-a-baldosa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/05\/15\/solucion-a-baldosa\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a baldosa"},"content":{"rendered":"
Problema 3 del nivel B fase auton\u00f3mica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
El siguiente dise\u00f1o es el dise\u00f1o de una baldosa de 20 cm de lado.<\/p>\n
Calcula el valor de la superficie de las diferentes \u00e1reas de diferente sombreado (zona 1, rallada, zona 2, en blanco, zona 3, panal, y zona 4, cuadr\u00edcula).
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEs m\u00e1s dif\u00edcil de lo que parece, y debemos usar en primer lugar todos los radios posibles a zonas de contacto entre circunferencias y figuras rectas.
\n\"\"
\nEmpecemos por encontrar el lado de la cruz (l), que est\u00e1 formada por cinco cuadrados.<\/p>\n
Se aprecia que, desde el centro del cuadrado del centro, que coincide con el centro de la circunferencia de radio 10 cm, se forma un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de hipotenusa 10 y catetos 3l\/2 y l\/2 (funciona mejor si tomamos x = l\/2). Se cumple, por tanto, la f\u00f3rmula del Teorema de Pit\u00e1goras, y 100 = 9l\u00b2\/4 + l\u00b2\/4 = 10l\u00b2\/4, por lo que 40 = l\u00b2, y as\u00ed l = 2\u00b7ra\u00edz(10) (es decir, x = ra\u00edz(10)).<\/p>\n
Si trabajamos con decimales, l = 6,325 y x =3,162.<\/p>\n
Es mucho m\u00e1s dif\u00edcil calcular el radio de las circunferencias peque\u00f1as, r. Dada la simetr\u00eda de la figura, el centro de la circunferencia grande, el centro de la peque\u00f1a y el punto de tangencia est\u00e1n alineados (si no, ser\u00eda mucho m\u00e1s dif\u00edcil), y se puede formar un peque\u00f1o cuadrado de lado r cuya diagonal est\u00e1 sobre ese radio.<\/p>\n
Dado que ah\u00ed se forma un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, tenemos que su diagonal d cumple que d\u00b2 = r\u00b2 + r\u00b2, es decir, que d = ra\u00edz(2)\u00b7r.<\/p>\n
De la misma forma, el trozo que queda del radio mayor antes de este cuadrado medir\u00eda ra\u00edz(2)\u00b7x = 2\u00b7ra\u00edz(5).<\/p>\n
Y como se puede apreciar en el dibujo, dada la alineaci\u00f3n mencionada, 10 = 2\u00b7ra\u00edz(5) + ra\u00edz(2)\u00b7r + r, de donde sabemos que 10 \u2013 2\u00b7ra\u00edz(5) = (ra\u00edz(2) + 1)\u00b7r, por lo que r = (10 \u2013 2\u00b7ra\u00edz(5))\/(ra\u00edz(2) + 1) = 10\u00b7ra\u00edz(2) + 2\u00b7ra\u00edz(5) \u2013 2\u00b7ra\u00edz(10) \u2013 10, usando multiplicaci\u00f3n por el conjugado, o bien 2,290 si usamos aproximaci\u00f3n decimal.<\/p>\n
Una vez que tenemos hechos esos c\u00e1lculos, pasemos a dar las \u00e1reas pedidas:<\/p>\n
Zona 1 (rallada): 20\u00b2 \u2013 Pi\u00b710\u00b2 = 400 \u2013 100\u00b7Pi, aproximadamente 85,84 cm\u00b2.<\/p>\n
Zona 2 (en blanco):  Pi\u00b710\u00b2 \u2013 5\u00b7(2\u00b7ra\u00edz(10))\u00b2 \u2013 4\u00b7Pi\u00b7(10\u00b7ra\u00edz(2) + 2\u00b7ra\u00edz(5) \u2013 2\u00b7ra\u00edz(10) \u2013 10)\u00b2, aproximadamente 48,28 cm\u00b2.<\/p>\n
Zona 3 (panal):  4\u00b7Pi\u00b7(10\u00b7ra\u00edz(2) + 2\u00b7ra\u00edz(5) \u2013 2\u00b7ra\u00edz(10) \u2013 10)\u00b2, aproximadamente 65,88 cm\u00b2.<\/p>\n
Zona 4 (cuadr\u00edcula):  5\u00b7(2\u00b7ra\u00edz(10))\u00b2, exactamente 200 cm\u00b2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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