{"id":2049,"date":"2021-05-22T11:27:56","date_gmt":"2021-05-22T11:27:56","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2049"},"modified":"2021-05-22T11:27:56","modified_gmt":"2021-05-22T11:27:56","slug":"solucion-a-el-angulo-maximo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/05\/22\/solucion-a-el-angulo-maximo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el \u00e1ngulo m\u00e1ximo"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 del nivel A fase auton\u00f3mica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019\r\nSe dirige a una edad de: 12-13 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En un cierto tipo de tri\u00e1ngulos, un \u00e1ngulo es 30\u00ba m\u00e1s grande que la media de los otros dos.<\/p>\n<p>Los tres \u00e1ngulos miden una cantidad entera de unidades en grados sexagesimales.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1nto puede medir como m\u00e1ximo un \u00e1ngulo en ese tipo de tri\u00e1ngulos?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2047\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/05\/195.Angulomax.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/05\/195.Angulomax.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/05\/195.Angulomax-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPuesto que los tres \u00e1ngulos deben sumar 180\u00ba, podemos hacer varias cosas (recurrir al \u00e1lgebra, tantear y razonar lo que pueden variar) para calcular alg\u00fan ejemplo.<\/p>\n<p>Si recurrimos al \u00e1lgebra, los dos \u00e1ngulos restantes deben medir x e y, y la condici\u00f3n es que el \u00e1ngulo que nos han indicado debe medir 30 + (x + y )\/2, y adem\u00e1s, 30 + (x + y)\/2 + x + y = 180.<\/p>\n<p>Esto significa que, quitando denominadores, 60 + (x + y) + 2x + 2y = 360, con lo que 3x + 3y = 300, es decir, que x + y = 100. Esto significa que los otros dos \u00e1ngulos deben sumar 100\u00ba, y el \u00e1ngulo que mide 30\u00ba m\u00e1s que la media de los otros, debe medir 80\u00ba.<\/p>\n<p>Otra forma de encontrarlo es pensar de la siguiente forma: Si los otros \u00e1ngulos fueran iguales, la media ser\u00eda el valor de uno de ellos, por lo que el otro \u00e1ngulo ser\u00eda 30\u00ba mayor. Puesto que los tres deben sumar 180\u00ba, la suma de tres veces los \u00e1ngulos iguales deber\u00eda sumar 150\u00ba, es decir, los \u00e1ngulos iguales deber\u00edan ser 50\u00ba y el desigual 80\u00ba. Ahora bien, si aumentamos uno de los de 50\u00ba sin que var\u00ede la media, debemos a\u00f1adirle una cantidad a \u00e9l y rest\u00e1rsela al otro, luego tienen que seguir sumando 100\u00ba, mientras que el otro seguir\u00eda valiendo 30\u00ba m\u00e1s que la media, cosa que no puede suceder si var\u00eda esta media.<\/p>\n<p>El caso es que nos demos cuenta de que, en esta familia de tri\u00e1ngulos, un \u00e1ngulo siempre mide 80\u00ba y los otros dos suman 100\u00ba.<\/p>\n<p>Usando ahora cantidades enteras de grados, el valor mayor que puede tomar uno de estos \u00e1ngulos es claramente 99\u00ba. En ese caso, el otro valdr\u00eda 1\u00ba y el tercero 80\u00ba.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 del nivel A fase auton\u00f3mica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019 Se dirige a una edad de: 12-13 a\u00f1os En un cierto tipo de tri\u00e1ngulos, un \u00e1ngulo es 30\u00ba m\u00e1s grande que la media de los otros dos. 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