{"id":2089,"date":"2021-06-26T06:32:44","date_gmt":"2021-06-26T06:32:44","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2089"},"modified":"2021-06-26T06:32:44","modified_gmt":"2021-06-26T06:32:44","slug":"solucion-a-numeros-capicuas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/06\/26\/solucion-a-numeros-capicuas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros capic\u00faas"},"content":{"rendered":"
Problema 5 del nivel B fase auton\u00f3mica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
\u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros capic\u00faas de 5 cifras hay que sean m\u00faltiplos de 11?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEs un problema muy interesante, que requiere algo de combinatoria b\u00e1sica y conocer bien un criterio de divisibilidad del 11.<\/p>\n
Evidentemente, ya que trabajamos con cifras, lo m\u00e1s interesante es utilizar el criterio basado en cifras, que afirma que un n\u00famero es divisible entre 11 si y s\u00f3lo si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan una posici\u00f3n impar y la suma de las cifras que ocupan una posici\u00f3n par es m\u00faltiplo de 11.<\/p>\n
Un n\u00famero de 5 cifras capic\u00faa tiene la primera y la \u00faltima cifra repetida, y lo mismo ocurrir\u00e1 con la segunda y la cuarta. En ambos casos, observamos que ocupan posiciones del mismo tipo de paridad.<\/p>\n
Si llamamos a a la primera y la \u00faltima, b a la segunda y la cuarta y c a la tercera, la condici\u00f3n ser\u00e1 2a + c \u2013 2b es m\u00faltiplo de 11.<\/p>\n
Estudiemos los posibles valores que pueden tomar a y b seg\u00fan el m\u00faltiplo de 11 que se trate.<\/p>\n
Puesto que a puede ser 1 como m\u00ednimo, el m\u00faltiplo de 11 m\u00e1s peque\u00f1o que podemos considerar es el n\u00famero -11, que s\u00f3lo se puede dar si c es impar, por ejemplo si a = 1, c = 1 y b = 7. Fijando el a, despu\u00e9s el c y obteniendo despu\u00e9s b, tenemos los siguientes valores: (1, 1, 7), (1, 3, 8) y (1, 5, 9). Para a = 2, s\u00f3lo tendr\u00edamos (2, 1, 8) y (2, 3, 9) y para a = 3 (3, 1, 9). Y no hay m\u00e1s puesto que b est\u00e1 limitado a 9.<\/p>\n
Eso hace un total de 6: 17171, 18381, 19591, 28182, 29392 y 39193.<\/p>\n
Si es diferencia es de 0, tenemos que c debe ser par. Iniciando con a = 1, tendremos los 5 valores (1, 0, 1), (1, 2, 2), (1, 4, 3), (1, 6, 4) y (1, 8, 5). Con a = 2, tenemos (2, 0, 2), (2, 2, 3), (2, 4, 4), (2, 6, 5) y (2, 8, 6), otras 5. El a = 3 proporciona otras 5, (3, 0, 3), (3, 2, 4), (3, 4, 5), (3, 6, 6) y (3, 8, 7). El a = 4, 5 m\u00e1s, (4, 0, 4), (4, 2, 5), (4, 4, 6), (4, 6, 7) y (4, 8, 8). De la misma forma, a = 5 proporciona 5, (5, 0, 5), (5, 2, 6), (5, 4, 7), (5, 6, 8) y (5, 8, 9), pero a = 6 s\u00f3lo da lugar a 4, (6, 0, 6), (6, 2, 7), (6, 4, 8) y (6, 6, 9). A partir de ah\u00ed, a = 7 da lugar a 3 (7, 0, 7), (7, 2, 8) y (7, 4, 9), a = 8 da lugar a 2, (8, 0, 8) y (8, 2, 9) y a = 9 s\u00f3lo un n\u00famero (9, 0, 9). Si queremos citar estos 25 + 10 = 35 n\u00fameros, ser\u00e1n 11011, 12221, 13431, 14641, 15851, 22022, 23232, 24442, 25652, 26862, 33033, 34243, 35453, 36663, 37873, 44044, 45254, 46464, 47674, 48884, 55055, 56265, 57475, 58685, 59895, 66066, 67276, 68486, 69696, 77077, 78287, 79497, 88088, 89298 y 99099.<\/p>\n
Si la diferencia es 11, de nuevo debemos usar un valor impar para c, y ah\u00ed empezar\u00edamos por 1 n\u00famero para un valor de a = 1 (1, 9, 0), dos para a = 2 (2, 7, 0) y (2, 9, 1), tres para a = 3 (3, 5, 0), (3, 7, 1) y (3, 9, 2), cuatro para a = 4 (4, 3, 0), (4, 5, 1), (4, 7, 2) y (4, 9, 3). A partir de ah\u00ed, tenemos 5 n\u00fameros para a = 5, 6, 7, 8 y 9. Eso har\u00eda un total de otros 35 n\u00fameros m\u00e1s, que ser\u00edan, si queremos enumerarlos: 10901, 20702, 21912, 30503, 31713, 32923, 40304, 41514, 42724, 43934, 50105, 51315, 52525, 53735, 54945, 61116, 62326, 63536, 64746, 65956, 72127, 73337, 74547, 75757, 76967, 83138, 84348, 85558, 86768, 87978, 94149, 95359, 96569, 97779 y 98989.<\/p>\n
Se puede tener una diferencia de 22, con una c par, siempre que a valga, como m\u00ednimo 7. Tendr\u00edamos (7, 8, 0), un \u00fanico valor si a = 7, dos valores si a = 8 (8, 6, 0) y (8, 8, 1) y 3 si a = 9 (9, 4, 0), (9, 6, 1) y (9, 8, 2). Corresponde a los n\u00fameros 70807, 80608, 81818, 90409, 91619 y 92829. Otros 6 n\u00fameros.<\/p>\n
Evidentemente, puesto que la suma 2a + c est\u00e1 limitada a 27, no puede dar una diferencia de 33.<\/p>\n
En total, tenemos 6 + 35 + 35 + 6 = 82 n\u00fameros.<\/p>\n
Curiosamente, hay un total de 9\u00b710\u00b710 = 900 n\u00fameros capic\u00faas, para todos los posibles a, b, c, por lo que el total de 82 es aproximadamente la proporci\u00f3n que les corresponde si estuviesen repartidos aleatoriamente entre los n\u00fameros (ya que 1 de cada 11 n\u00fameros ser\u00eda m\u00faltiplo de 11).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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