{"id":2108,"date":"2021-07-10T08:26:04","date_gmt":"2021-07-10T08:26:04","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2108"},"modified":"2021-07-11T17:01:52","modified_gmt":"2021-07-11T17:01:52","slug":"solucion-a-angulo-en-esfera","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/07\/10\/solucion-a-angulo-en-esfera\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00e1ngulo en esfera"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2021)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Los v\u00e9rtices A, B y C de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero de lado 1 est\u00e1n en la superficie de una esfera de radio 1 y centro O.<\/p>\n
Sea D la proyecci\u00f3n ortogonal de A sobre el plano \u03b1, determinado por B, C y O.<\/p>\n
Llamamos N a uno de los cortes con la esfera de la recta perpendicular a \u03b1 por O.<\/p>\n
Halla la medida del \u00e1ngulo DNO.<\/p>\n
(Nota: la proyecci\u00f3n ortogonal de A sobre el plano \u03b1 es el punto de corte con \u03b1 de la recta que pasa por A y es perpendicular a \u03b1.)
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEn este problema, lo m\u00e1s importante es la visualizaci\u00f3n de los puntos. Si tenemos problemas con esto, deberemos recurrir al uso de coordenadas.<\/p>\n
Lo principal es que A, B, C y O est\u00e1n todos a una unidad de distancia, es decir, ocupan los v\u00e9rtices de un tetraedro regular de lado 1.<\/p>\n
Si usamos coordenadas, vamos a situar O en el (0, 0, 0). As\u00ed, todos los puntos de la esfera (A, B, C y N) cumplir\u00e1n que la suma de sus coordenadas al cuadrado valen 1.<\/p>\n
Puesto que el plano OBC, \u03b1, es importante en el problema, tomaremos el plano horizontal, es decir, que ser\u00e1n los puntos cuya coordenada z vale cero, y las rectas perpendiculares ser\u00e1n aquellas en las que todos los puntos tienen una misma x y una misma y, variando s\u00f3lo la z.<\/p>\n
Ahora, para elegir las coordenadas de los puntos B y C, voy situarlos de forma que sean sim\u00e9tricos respecto al eje X, as\u00ed que tendr\u00e1n las coordenadas (x, y, 0) y (x, -y, 0), de forma que x\u00b2 + y\u00b2 = 1. Puesto que la distancia entre ambos, 2y = 1, tenemos que y = 1\/2 y x = ra\u00edz(3)\/2.<\/p>\n
As\u00ed, tenemos que O = (0,0,0), B = (ra\u00edz(3)\/2, 1\/2, 0) y C = (ra\u00edz(3)\/2, -1\/2, 0). Para determinar A, tendremos en cuenta que su y vale 0 para que est\u00e9 a la misma distancia de B y de C, as\u00ed que ser\u00e1 de la forma (x, 0, z), cumpliendo que su distancia a O es 0 (x\u00b2 + z\u00b2 = 1) y su distancia a B y a C vale 1 tambi\u00e9n, es decir, (x \u2013 ra\u00edz(3)\/2)\u00b2 + 1\/4 + z\u00b2 = 1. De ese par de ecuaciones deducimos que z\u00b2 = 1 \u2013 x\u00b2, por lo que (x \u2013 ra\u00edz(3)\/2)\u00b2 + 1\/4 + 1 \u2013 x\u00b2 = 1. Quitando par\u00e9ntesis, tenemos que x\u00b2 \u2013 ra\u00edz(3)x + 3\/4 + 1\/4 \u2013 x\u00b2 = 0, es decir, que \u2013 ra\u00edz(3)x + 1 = 0. Por tanto, x = 1\/ra\u00edz(3), es decir que x = ra\u00edz(3)\/3. Y z = ra\u00edz(6)\/3 (se puede suponer, sin p\u00e9rdida de generalidad, que es positiva).<\/p>\n
Por tanto A = (ra\u00edz(3)\/3, 0, ra\u00edz(6)\/3), B = (ra\u00edz(3)\/2, 1\/2, 0) y C = (ra\u00edz(3)\/2, -1\/2, 0). Se puede comprobar que con esas coordenadas se cumplen todas las condiciones de la situaci\u00f3n propuesta.<\/p>\n
La proyecci\u00f3n de A sobre el plano ser\u00eda eliminarle la coordenada z, es decir, que D = (ra\u00edz(3)\/3, 0, 0), y El punto N puede ser tanto (1, 0, 0) como (-1, 0, 0). Por comodidad, supondremos que usamos el (1, 0, 0), aunque el resultado es el mismo.<\/p>\n
El tri\u00e1ngulo NOD es rect\u00e1ngulo en O, claramente, y entonces el \u00e1ngulo que buscamos, el que se forma en N, tiene una tangente que ser\u00eda el resultado de dividir DO entre NO, es decir, que su tangente ser\u00eda ra\u00edz(3)\/3, es decir, que el \u00e1ngulo buscado ser\u00eda el de 30\u00ba, que es el \u00fanico que tiene esa tangente y cabe en un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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