{"id":2119,"date":"2021-07-17T10:30:48","date_gmt":"2021-07-17T10:30:48","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2119"},"modified":"2021-07-17T10:30:48","modified_gmt":"2021-07-17T10:30:48","slug":"solucion-a-cuatro-numeros-con-condiciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/07\/17\/solucion-a-cuatro-numeros-con-condiciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cuatro n\u00fameros con condiciones"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2021)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sean a, b, c y d n\u00fameros reales tales que a + b + c + d = 0 y a\u00b2 + b\u00b2 + c\u00b2 + d\u00b2 = 12.<\/p>\n<p>Halla el valor m\u00ednimo y el valor m\u00e1ximo que puede tomar el producto abcd, y determina para qu\u00e9 valores de a, b, c y d se consiguen ese m\u00ednimo y ese m\u00e1ximo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2116\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/204.cuatronumeros.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/204.cuatronumeros.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/204.cuatronumeros-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEst\u00e1 claro que, dada la primera condici\u00f3n, debemos tener n\u00fameros positivos y negativos, y, viendo la segunda, no deben ser mayores que 4 en valor absoluto.<\/p>\n<p>Los n\u00fameros que buscamos, al ser un producto, podr\u00edan ser positivos o negativos, as\u00ed que voy a buscar primero el m\u00e1ximo y luego el m\u00ednimo.<\/p>\n<p>Si queremos que el resultado de abcd sea positivo, deben ser dos n\u00fameros positivos y dos negativos.<\/p>\n<p>Es decir, que por ejemplo a + b = -c \u2013 d, y podemos asumir que a y b son los positivos y c y d los negativos sin p\u00e9rdida de generalidad.<\/p>\n<p>As\u00ed, abcd = ab(-c)(-d) y por la desigualdad entre media geom\u00e9trica y media cuadr\u00e1tica, tendr\u00edamos que ra\u00edzcuarta(ab(-c)(-d)) es menor o igual que ra\u00edz((a\u00b2 + b\u00b2 + (-c)\u00b2 + (-d)\u00b2)\/4), y la igualdad se da cuando todos los n\u00fameros son iguales, as\u00ed que el valor mayor que puede tomar abcd = ra\u00edz(3)\u2074 = 9, y se da en el caso en que a = ra\u00edz(3) = b, y c = -ra\u00edz(3) = d.<\/p>\n<p>Ahora, vamos a tratar de encontrar el m\u00ednimo. Se tratar\u00e1 de un valor negativo, por lo que tres de los n\u00fameros que buscamos tendr\u00e1n el mismo signo y el otro tendr\u00e1 el signo opuesto. Supongamos que los tres primeros comparten el signo, y d tiene el signo opuesto. Evidentemente, da lo mismo a efectos del producto que a, b y c sean positivos o negativos, as\u00ed que vamos a suponer que se da el primer caso.<\/p>\n<p>As\u00ed, a + b + c = -d por la primera relaci\u00f3n. Adem\u00e1s, la desigualdad entre la media aritm\u00e9tica y la geom\u00e9trica nos dice que la ra\u00edz c\u00fabica de abc es menor o igual que (a + b + c)\/3 = -d\/3, por lo que si queremos que el producto abcd sea lo menor posible, tenemos que conseguir que abc(-d) sea lo mayor posible, y seg\u00fan la desigualdad, resulta que abc es menor o igual que -d\u00b3\/27, y por eso abc(-d) es menor o igual que d\u2074\/27, es decir, que abcd es mayor o igual que -d\u2074\/27. Y adem\u00e1s, la igualdad s\u00f3lo se da en el caso de que a, b y c son iguales.<\/p>\n<p>Sabiendo que el valor m\u00ednimo de abcd se obtiene con valores id\u00e9nticos para a, b y c, tenemos que d = -3a, y adem\u00e1s debe darse que a\u00b2 + a\u00b2 + a\u00b2 + (-3a)\u00b2 = 12a\u00b2 = 12, por lo que a = 1, y el valor m\u00ednimo en ese caso ser\u00e1 -3, y se alcanza para los valores a = b = c = 1, d = -3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sean a, b, c y d n\u00fameros reales tales que a + b + c + d = 0 y a\u00b2 + b\u00b2 + c\u00b2 + d\u00b2 = 12. 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