{"id":2125,"date":"2021-07-24T11:21:16","date_gmt":"2021-07-24T11:21:16","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2125"},"modified":"2021-07-24T11:21:16","modified_gmt":"2021-07-24T11:21:16","slug":"solucion-a-enteros-olimpicos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/07\/24\/solucion-a-enteros-olimpicos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a enteros ol\u00edmpicos"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2021)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Dado un n\u00famero entero positivo n, definimos \u03bb(n) como el n\u00famero de soluciones enteras positivas de la ecuaci\u00f3n x\u00b2 \u2013 y\u00b2 = n.<\/p>\n
Diremos que el n\u00famero n es \u201col\u00edmpico\u201d si \u03bb(n) = 2021.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l es el primer entero positivo que es ol\u00edmpico?<\/p>\n
\u00bfY cu\u00e1l es el menor entero positivo impar que es ol\u00edmpico?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLa clave en los problemas con enteros suele ser escribir sus factores. Si vemos la ecuaci\u00f3n de la que debemos encontrar las soluciones enteras, es x\u00b2 \u2013 y\u00b2 = n, es decir, (x + y)(x \u2013 y) = n.<\/p>\n
Estudiemos el n\u00famero de soluciones x, y que vamos a encontrar para un entero dado.<\/p>\n
Imaginemos algo como n = 5, y contemos.<\/p>\n
Veamos un ejemplo, 5 s\u00f3lo tiene los divisores 5 y 1, y por tanto, puesto que necesariamente x \u2013 y es menor que x + y, tendremos que x \u2013 y = 1 y x + y = 5, de donde 2x = 6 y 2y = 4, es decir, x = 3 e y = 2 es la \u00fanica soluci\u00f3n (en efecto, 9 \u2013 4 = 5).<\/p>\n
Probemos otro, 12 tiene 6 divisores, 12, 6, 4, 3, 2, 1. Es decir, que 12 puede escribirse de tres formas diferentes, si tenemos en cuenta que uno de los factores necesariamente es mayor que otro. Tenemos que 12\u00b71 = 12, 6\u00b72 = 12 y 4\u00b73 = 12. Sin embargo, x + y y x \u2013 y son dos n\u00fameros que presentan la misma paridad, de forma que los productos 12\u00b71 y 4\u00b73 quedan descartados, s\u00f3lo tendr\u00edamos la soluci\u00f3n que aporte la factorizaci\u00f3n 6\u00b72, que ser\u00e1 que x = 4 e y = 2.<\/p>\n
En general, el n\u00famero de soluciones de la ecuaci\u00f3n coincide con el n\u00famero de factorizaciones de n en dos factores en la que ambos factores tienen la misma paridad, ya que es necesario y suficiente que tengan la misma paridad (si no tienen la misma paridad no existe x e y, y si tienen la misma existen seguro).<\/p>\n
Hay que tener en cuenta por separado la posibilidad de que el numero n sea un cuadrado perfecto, ya que en ese caso el n\u00famero de divisores es impar, y hay uno de ellos que no produce ninguna soluci\u00f3n en la ecuaci\u00f3n, ya que x \u2013 y no puede ser igual a x + y si ambos son enteros positivos.<\/p>\n
Empecemos con la versi\u00f3n f\u00e1cil, si n es impar y no es un cuadrado, todos sus divisores son impares, con lo que el n\u00famero de soluciones de la ecuaci\u00f3n x\u00b2 \u2013 y\u00b2 = n coincide con la mitad de los factores.<\/p>\n
Puesto que es posible calcular el n\u00famero de factores a partir de la descomposici\u00f3n factorial, podemos conocer cu\u00e1l es el primero eligiendo cuidadosamente los factores primos que forman n.<\/p>\n
Por ejemplo, si tenemos un valor de n = 3\u2075\u00b75\u00b2\u00b77, la cantidad de divisores ser\u00eda de (5 + 1)\u00b7(2 + 1)\u00b7(1 + 1) = 6\u00b73\u00b72 = 36. Y entonces, \u03bb(n) ser\u00eda 18. Es decir, la forma de calcular la cantidad de divisores ser\u00eda multiplicar todos los exponentes de los factores primos aumentados en 1. Y calcular \u03bb(n) ser\u00eda tan sencillo como dividir por 2.<\/p>\n
Pero no s\u00f3lo nos permite saber el n\u00famero de divisores, la descomposici\u00f3n en factores primos nos permite construir todos esos divisores.<\/p>\n
Puesto que 2021 es 43\u00b747, para que \u03bb(n) = 2021, deber\u00eda darse que el n\u00famero de divisores fuese 43\u00b747\u00b72, y la forma m\u00e1s baja de lograrlo ser\u00eda con el n\u00famero 3\u2074\u2076\u00b75\u2074\u00b2\u00b77. Es decir, el n\u00famero ol\u00edmpico impar m\u00e1s bajo ser\u00eda  3\u2074\u2076\u00b75\u2074\u00b2\u00b77. Este n\u00famero es enorme, 14106391708439220490505022098659537732601165771484375 y evidentemente no hay que calcularlo de forma expl\u00edcita.<\/p>\n
Veamos ahora qu\u00e9 pasa con los pares. De todos los divisores posibles, deber\u00edamos eliminar todos los que, o bien no tengan ning\u00fan factor par (ya que todos los factores pares se concentrar\u00edan en el otro), o bien los tengan todos, con los que el menor que dar\u00eda 2021 como resultado ser\u00e1 2\u2074\u2078\u00b73\u2074\u00b2\u00b75, ya que sus divisores aceptables para obtener soluciones, una vez eliminados los que tengan diferente paridad ser\u00edan (49\u00b743\u00b72 \u2013 2\u00b743\u00b72) = 47\u00b743\u00b72, por lo que \u03bb(n) = 2021.<\/p>\n
Este n\u00famero s\u00ed ser\u00eda el m\u00e1s bajo de los ol\u00edmpicos, y ser\u00eda 153993537087479816461503505650155520, que es bastante inferior (no es conveniente calcularlo de forma expl\u00edcita).<\/p>\n
Trabajar con los cuadrados ser\u00eda m\u00e1s dif\u00edcil, ya que el n\u00famero de divisores que buscar\u00edamos no ser\u00eda 2021\u00b72 = 4042, si no 4043. y este n\u00famero es 13\u00b7311, con lo que hablar\u00edamos de un n\u00famero mucho m\u00e1s grande. De hecho, el primer impar cuadrado ser\u00eda 3\u00b3\u00b9\u2070\u00b75\u00b9\u00b2, que ser\u00eda muy superior a los n\u00fameros de los que nos hemos ocupado, y el primer par ser\u00eda 2\u00b3\u00b9\u00b2\u00b73\u00b9\u00b2, que tambi\u00e9n ser\u00eda muy grande (superior tambi\u00e9n a los n\u00fameros tratados).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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