{"id":2138,"date":"2021-08-09T15:53:46","date_gmt":"2021-08-09T15:53:46","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2138"},"modified":"2021-08-09T15:53:46","modified_gmt":"2021-08-09T15:53:46","slug":"solucion-a-malas-fichas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/08\/09\/solucion-a-malas-fichas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a malas fichas"},"content":{"rendered":"
Problema 3 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2021)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Tenemos 2021 colores y 2021 fichas de cada color.<\/p>\n
Colocamos las 2021\u00b2 fichas en fila.<\/p>\n
Se dice que una ficha F es \u201cmala\u201d si a cada lado queda un n\u00famero impar de las 2020\u00b72021 fichas que no comparten color con F.<\/p>\n
(a) Determina cu\u00e1l es el m\u00ednimo n\u00famero posible de fichas malas.<\/p>\n
(b) Si se impone la condici\u00f3n de que cada ficha ha de compartir color con al menos una ficha adyacente. \u00bfCu\u00e1l es el m\u00ednimo n\u00famero posible de fichas malas?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nComo es l\u00f3gico, debemos hacer un poco de experimentaci\u00f3n, colocando una cantidad mucha menor de fichas. Como el tema va de paridad, empezaremos por probar series de 3 colores y 3 fichas de cada color, como indica el dibujo correspondiente.<\/p>\n
Pronto podemos comprobar que resulta algo pesado contar el n\u00famero de fichas de diferente color que hay antes y despu\u00e9s, y que, puesto que el total de fichas es impar, es muy sencillo entender que en realidad es suficiente contar en un lado (al otro hay la misma paridad).<\/p>\n
Si relacionamos las combinaciones con la paridad de la cantidad total de una ficha, resulta curioso comprobar que esta paridad coincide con la paridad entre fichas de un mismo color en el caso en que la ficha no sea mala, y es opuesta en el caso de que lo sea.<\/p>\n
Es decir, voy a anotar la paridad de la cantidad de fichas que hay a la izquierda de una determinada, y tambi\u00e9n la paridad de fichas que hay a su izquierda del mismo color que la propia ficha.
\n\"\"
\n\u00bfPor qu\u00e9 sucede esto? Porque la cantidad total de fichas antes de una coincide con la cantidad de fichas diferentes + la cantidad de fichas iguales.<\/p>\n
En las fichas que no sean malas, la cantidad de fichas diferentes son pares, luego coincide la paridad de las cantidades totales y de las fichas iguales. Y en el caso de que sean fichas malas, ser\u00e1n justo de paridad contraria, ya que la suma de pares e impares siempre da impar, mientras que impares e impares da par.<\/p>\n
La ventaja de anotar as\u00ed las posiciones es que sabemos exactamente cu\u00e1ntas hay de cada tipo. Hay que observar que la paridad de las fichas que hay a la izquierda es alternante, y la cantidad de fichas del mismo color tambi\u00e9n lo es si nos fijamos s\u00f3lo en las del mismo color.<\/p>\n
Es decir, en nuestro ejemplo, siempre habr\u00e1 dos fichas amarillas con una P y una con una I.<\/p>\n
Por tanto, habr\u00e1 en nuestro ejemplo, mirando la paridad del total de fichas a la izquierda, 5 P y 4 I. Mientras que mirando la paridad de fichas del mismo color, habr\u00e1 6P y 3I. Eso obliga a que haya un m\u00ednimo de una ficha mala, en la que no coincida una y otra paridad. Un ejemplo de esa distribuci\u00f3n lo podemos ver a continuaci\u00f3n.
\n\"\"
\nDe hecho, lo hemos hecho cambiando pacientemente una casilla mala por otra para que coincidiesen en la medida de lo posible las I y las P.<\/p>\n
Veamos c\u00f3mo aplicarlo al caso de 2021 colores con 2021 fichas de cada color. En total, la secuencia de 2021\u00b2 de fichas tendr\u00e1n (2021\u00b2 + 1)\/2 posiciones P (con una cantidad par de fichas a su izquierda) y (2021\u00b2 \u2013 1)\/2 posiciones I, ya que tenemos una P m\u00e1s una I y van en posiciones alternadas.<\/p>\n
Ahora bien, en cada color hay 2021 fichas, por lo que si miramos si tienen una cantidad par o impar de su propio color, nos encontraremos que hay (2021 + 1)\/2 P y (2021 \u2013 1) I de cada color, es decir, en total habr\u00e1 2021(2021 + 1)\/2 P y 2021(2021 \u2013 1)\/2 I.<\/p>\n
Tenemos que comparar la diferencia entre los dos tipos de fichas P, es decir, hay que restar 2021(2021 + 1)\/2 y (2021\u00b2 + 1)\/2.<\/p>\n
Para ello, hacemos (2021\u00b2 + 2021)\/2 \u2013 (2021\u00b2 + 1)\/2 = (2021 \u2013 1)\/2 = 1010 fichas malas como m\u00ednimo, pues habr\u00e1 1010 P que no se podr\u00e1n hacer coincidir con fichas P.<\/p>\n
Para confirmar que es posible alcanzar este m\u00ednimo, podemos situar 2020 fichas de cada uno de los 2021 colores de forma consecutivas, lo que respetar\u00e1 la secuencia de par e impar en ambos recuentos, y dejar al final un total de 2021 fichas de todos los colores diferentes, que en el recuento de cu\u00e1ntas fichas de su color tienen a la izquierda siempre son P, y por tanto habr\u00e1 un total de 1011 coincidencias y 1010 fichas en mala posici\u00f3n.<\/p>\n
Con esto concluimos el apartado (a). Para el apartado (b), la cosa se complica, ya que si tenemos que situar las fichas en grupos de al menos 2 del mismo color, cada vez que situemos una con paridad diferente en cuanto a posici\u00f3n y color, las que le acompa\u00f1en tambi\u00e9n ser\u00e1n malas.
\nPor otra parte, como de cada color hay una cantidad impar de fichas, al menos uno de las agrupaciones deber\u00e1 ser de cantidad impar, al menos de 3.<\/p>\n
Cuando usemos una agrupaci\u00f3n impar se produce un desacoplamiento entre las dos paridades (de posici\u00f3n y de color) que s\u00f3lo se puede compensar con otra agrupaci\u00f3n impar.<\/p>\n
Despu\u00e9s de un desacoplamiento de ese tipo, todas las fichas que pongamos hasta que se compense ser\u00e1n malas, ya que no coincidir\u00e1 su paridad de posici\u00f3n con su paridad de color.<\/p>\n
Evidentemente, si queremos compensarla usando el menor n\u00famero de fichas en mala posici\u00f3n, deberemos usar el impar m\u00e1s peque\u00f1o, es decir, el 3.<\/p>\n
Y necesitaremos compensar al menos (2021 \u2013 1)\/2 = 1010 veces, es decir, que en el apartado (b) tendremos al menos 1010\u00b73 = 3030 fichas malas.<\/p>\n
Un ejemplo que prueba que esa situaci\u00f3n es posible es situar, por ejemplo, 2021 fichas de un color, 3 de otra, 2021 de otra, y as\u00ed sucesivamente hasta agotar los 2020 colores. S\u00f3lo las ternas de los colores separadores est\u00e1n en mala posici\u00f3n. Cuando situemos los 2020 colores, estaremos en condiciones de poner fichas de la misma paridad, as\u00ed que pondremos las cantidades pares (2018 de cada color) de fichas que nos faltan por poner y las 2021 seguidas del \u00faltimo color. En total s\u00f3lo hemos colocado 3\u00b71010 = 3030 fichas malas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 3 de la fase nacional de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2021) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Tenemos 2021 colores y 2021 fichas de cada color. Colocamos las 2021\u00b2 fichas en fila. Se dice que una ficha F es \u201cmala\u201d si a cada lado queda un n\u00famero impar de las 2020\u00b72021 […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2138","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2138"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2142,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2138\/revisions\/2142"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}