{"id":2146,"date":"2021-08-14T19:02:04","date_gmt":"2021-08-14T19:02:04","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2146"},"modified":"2021-08-14T19:02:04","modified_gmt":"2021-08-14T19:02:04","slug":"solucion-a-entre-1010-y-2020","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/08\/14\/solucion-a-entre-1010-y-2020\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a entre 1010 y 2020"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020\/21)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sean a y b dos n\u00fameros reales tales que 1010 \u2264 a, b \u2264 2020.<\/p>\n<p>Demuestra que (a + b)(1\/a + 1\/b) \u2264 9\/2.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2144\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/208.entre1010y2020.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/208.entre1010y2020.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/208.entre1010y2020-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nRealizando la operaci\u00f3n algebraica, la desigualdad que tenemos ser\u00eda equivalente a la siguiente: a\/a + a\/b + b\/a + b\/b \u2264 9\/2, es decir, a\/b + b\/a \u2264 5\/2. Sin embargo como, a\/b y b\/a son inversos, si llamamos x = a\/b, la desigualdad es equivalente a x + 1\/x \u2264 5\/2, es decir, x + 1\/x \u2013 5\/2 \u2264 0.<\/p>\n<p>El n\u00famero x = a\/b es un n\u00famero positivo, que est\u00e1 entre 1\/2 y 2, ya que el menor valor que puede tomar a es 1010 y el mayor que puede tomar b es 2020, y tambi\u00e9n sucede al rev\u00e9s. Si conseguimos trabajar con la expresi\u00f3n obtenida anteriormente y factorizarla, podremos saber si la desigualdad es o no cierta.<\/p>\n<p>Reduciendo a com\u00fan denominador, tenemos que la (2x\u00b2 + 2 \u2013 5x)\/(2x) \u2264 0. El polinomio 2x\u00b2 \u2013 5x + 2 tiene las ra\u00edces (5 + ra\u00edz(25 \u2013 16))\/4 = (5 + 3)\/4 = 2 y (5 \u2013 ra\u00edz(25 \u2013 16))\/4 = (5 \u2013 3)\/4 = 1\/2, por lo que podemos escribir la desigualdad como 2(x \u2013 2)(x \u2013 1\/2)\/(2x) \u2264 0, es decir, como (x \u2013 2)(x \u2013 1\/2)\/x \u2264 0.<\/p>\n<p>Veamos el signo de la expresi\u00f3n (x \u2013 2) es negativo, ya que x = a\/b es siempre menor que 2, como hemos visto anteriormente, la expresi\u00f3n (x \u2013 1\/2) sin embargo es positiva, ya que x siempre es mayor que 1\/2, y x, el denominador, es claramente positivo.<\/p>\n<p>Por lo tanto se verifica que (x \u2013 2)(x \u2013 1\/2)\/x \u2264 0, lo que es equivalente a la expresi\u00f3n que buscamos, (a + b)(1\/a + 1\/b) \u2264 9\/2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020\/21) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sean a y b dos n\u00fameros reales tales que 1010 \u2264 a, b \u2264 2020. Demuestra que (a + b)(1\/a + 1\/b) \u2264 9\/2. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2146","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2146","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2146"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2146\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2147,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2146\/revisions\/2147"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2146"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2146"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2146"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}