{"id":2158,"date":"2021-08-21T10:42:28","date_gmt":"2021-08-21T10:42:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2158"},"modified":"2021-08-21T10:42:28","modified_gmt":"2021-08-21T10:42:28","slug":"solucion-a-fracciones-irreducibles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/08\/21\/solucion-a-fracciones-irreducibles\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a fracciones irreducibles"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020\/21)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Determina todos los valores enteros de n tales que la fracci\u00f3n (8n \u2013 3)\/(17n \u2013 9) es irreducible.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2149\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/209.fraccionesirreducibles.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/209.fraccionesirreducibles.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2021\/07\/209.fraccionesirreducibles-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nTanteando no llegamos a ning\u00fan lado, aparentemente.<\/p>\n<p>Si combinamos el denominador y el denominador, puede que tengamos una expresi\u00f3n que nos permita razonar mejor, ya que 17(8n \u2013 3)\/(17n \u2013 9) \u2013 8 = (17\u00b78\u00b7n \u2013 51 \u2013 8\u00b717\u00b7n + 72)\/(17n \u2013 9) = 21\/(17n \u2013 9). Si la fracci\u00f3n que nos ocupa es irreducible, la otra tambi\u00e9n lo ser\u00e1, ya que no es posible que se simplifique el valor primo 17 que es el n\u00famero por el que la hemos multiplicado.<\/p>\n<p>As\u00ed, vemos que para que sea reducible la fracci\u00f3n no hay m\u00e1s remedio que sea divisible por 3 o por 7, por lo que s\u00f3lo debemos buscar cu\u00e1ndo 8n \u2013 3 es m\u00faltiplo de 3 y tambi\u00e9n 17n \u2013 9, y cuando sucede lo mismo con 7.<\/p>\n<p>Razonando con 3, 8n \u2013 3 es m\u00faltiplo de 3 si y s\u00f3lo si 8n lo es, luego n es m\u00faltiplo de 3, y entonces 17n \u2013 9 tambi\u00e9n es m\u00faltiplo de 3, por lo que siempre que n sea m\u00faltiplo de 3, la fracci\u00f3n es reducible.<\/p>\n<p>Razonando con 7, 8n \u2013 3 es m\u00faltiplo de 7 si y s\u00f3lo si n \u2013 3 es m\u00faltiplo de 7, es decir, n es de la forma 7k + 3. En ese caso, 17\u00b7(7k + 3) \u2013 9 = 119k + 51 \u2013 9 = 119k + 42 = 7(17k + 6), es decir, 17n \u2013 9 es m\u00faltiplo de 7 tambi\u00e9n.<\/p>\n<p>Por lo tanto, la fracci\u00f3n (8n \u2013 3)\/(17n \u2013 9) es irreducible para cualquier n que cumpla que no sea m\u00faltiplo de 3 ni sea divisible por 7 al restarle 3.<\/p>\n<p>Posibles valores para n ser\u00edan 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 32, 34, &#8230; Se da la circunstancia que cada 21 n\u00fameros vuelve a repetirse la misma secuencia de valores n a partir de la cual obtenemos fracciones irreducibles.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020\/21) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Determina todos los valores enteros de n tales que la fracci\u00f3n (8n \u2013 3)\/(17n \u2013 9) es irreducible. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2158","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2158","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2158"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2158\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2159,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2158\/revisions\/2159"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2158"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2158"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2158"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}