{"id":2166,"date":"2021-08-28T04:44:33","date_gmt":"2021-08-28T04:44:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2166"},"modified":"2021-08-28T04:47:02","modified_gmt":"2021-08-28T04:47:02","slug":"solucion-a-un-tablero-cuadrado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/08\/28\/solucion-a-un-tablero-cuadrado\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un tablero cuadrado"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la fase catalana de la 57 Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2020\/21)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Tenemos un tablero nxn, con n > 2.<\/p>\n
Escribimos en cada casilla un n\u00famero natural entre el 1 y el n\u00b2 diferente, en cualquier orden.<\/p>\n
Demuestra que siempre existen dos casillas adyacentes tales que los n\u00fameros que x, y que contienen satisfacen la siguiente desigualdad: |x \u2013 y| \u2265 n\/2 + 1.<\/p>\n
Entendemos que son casillas adyacentes aquellas que comparten un lado.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLa cuesti\u00f3n es que resulta f\u00e1cil comprobarlo en los tableros peque\u00f1os. Si tratamos de poner los n\u00fameros del 1 al 9 en un tablero 3×3, pronto comprobamos que es imposible ponerlos sin que superen la distancia 2,5 (es decir, alcancen el 3) en alg\u00fan momento.
\n\"\"
\nLa jugada clave si intentamos situar los n\u00fameros con la menor diferencia posible es tratar de que lo n\u00fameros que est\u00e1n en posiciones contiguas sean lo m\u00e1s parecidos entre s\u00ed, pero para lograr esto los n\u00fameros m\u00e1s extremos (en nuestro ejemplo, el 1 y el 9) deben estar en posiciones lo m\u00e1s lejanas posibles, e ir creciendo poco a poco de uno a otro.<\/p>\n
De ah\u00ed, podemos establecer un camino de celdas contiguas que una los extremos, entre 1 y n\u00b2.<\/p>\n
Este camino de celdas contiguas debe tener como mucho 2n \u2013 1 casillas, ya que el peor caso es que est\u00e9n en posiciones que ocupan las esquinas del tablero (como en el ejemplo) y que los caminos deban recorrer todas las casillas horizontalmente y verticalmente. Eso significa que debe tener n casillas horizontalmente y n \u2013 1 para “conectar” una a otra.
\n\"\"
\nRazonando entonces por reducci\u00f3n al absurdo, si suponemos que todas las casillas cumplen la condici\u00f3n contraria, es decir, |x \u2013 y| es menor que n\/2 + 1, seguro que las casillas que ocupan las celdas que forman ese camino m\u00ednimo son todas menores que una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica que comienza por 1, de 2n \u2013 1 t\u00e9rminos que estuvieran a menos de esa distancia de n\/2 + 1, es decir que la \u00faltima casilla, ocupada por n\u00b2 ser\u00eda menor que 1 + d(2n \u2013 2).<\/p>\n
Si estamos hablando de un n\u00famero n par, d puede ser a lo sumo n\/2, por lo que n\u00b2 \u2264 1 + (2n \u2013 2)n\/2 = 1 + n\u00b2 \u2013 n, claramente imposible, puesto que n es mayor que 2.<\/p>\n
Si estamos hablando de un n\u00famero impar, d puede ser a lo sumo (n + 1)\/2, luego n\u00b2 \u2264 1 + (2n \u2013 2)(n + 1)\/2 = 1 + (2n\u00b2 \u2013 4)\/2 = n\u00b2. Esta circunstancia s\u00ed ser\u00eda posible, pero obligar\u00eda a que toda la secuencia estar\u00eda formada por los t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica. Es decir, el primer t\u00e9rmino ser\u00eda 1, el segundo, 1 + (n + 1)\/2, y as\u00ed sucesivamente (de hecho, en nuestro ejemplo se puede escoger un camino como ese), pero en ese caso, puesto que 1 y n\u00b2 estar\u00edan en esquinas contrarias del tablero, podr\u00edamos tomar otro camino diferente, por ejemplo, tomando una casilla a la derecha en lugar de hacia abajo al salir del 1, o viceversa, y los n\u00fameros deber\u00edan entonces ser diferentes y el destino deber\u00eda ser al menos una unidad mayor, cosa que es imposible.
\n\"\"
\nPor lo tanto, por reducci\u00f3n al absurdo, existen esos dos n\u00fameros contiguos con una diferencia de al menos n\/2 + 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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