{"id":2224,"date":"2021-10-23T06:37:40","date_gmt":"2021-10-23T06:37:40","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2224"},"modified":"2021-10-23T06:37:40","modified_gmt":"2021-10-23T06:37:40","slug":"solucion-a-diamantes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/10\/23\/solucion-a-diamantes\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a diamantes"},"content":{"rendered":"
Problema 3 del nivel C fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021\r\nSe dirige a una edad de: 10-11 a\u00f1os<\/pre>\n
A la figura formada por dos tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros unidos por un lado se le llama diamante.<\/p>\n
Averigua cu\u00e1ntos pentamantes (agrupaciones de 5 tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros unidos todos ellos con otro por alguno de sus lados) hay, y si algunos de ellos puede teselar un plano.<\/p>\n
Entendemos por teselar cubrir una superficie plana con un patr\u00f3n regular sin que se superpongan ni dejen huecos. Se puede teselar con cuadrados, tri\u00e1ngulos de todo tipo, hex\u00e1gonos regulares, etc…\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEste ejercicio es muy creativo, se trata de encontrar, mediante ensayo, todas las posibilidades para unir cinco tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros.<\/p>\n
Es evidente que s\u00f3lo hay un tipo de diamante, ya que si unes dos tri\u00e1ngulos por un lado, s\u00f3lo puede quedar una figura (ese tipo de rombo que aparece en el ejemplo).<\/p>\n
De la misma forma, si unes ese rombo con un nuevo tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero, s\u00f3lo puede quedar una figura, que es la que forma el \u201ctriamante\u201d, esa especie de trapecio.<\/p>\n
Pero en realidad a partir de aqu\u00ed, la cosa se complica, ya que hay tres tipos de tetramante, formado a partir de unir un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero al triamante. Veamos el aspecto que tiene cada uno de ellos, seg\u00fan que lo a\u00f1adas en la base larga, en la corta, o en uno de los lados no paralelos a las bases.
\n\"\"
\nAhora, tenemos m\u00e1s diversidad para elegir uno de ellos y a\u00f1adirle un nuevo tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero.<\/p>\n
La simetr\u00eda del que tiene forma de tri\u00e1ngulo s\u00f3lo permite construir un nuevo tipo de figura a partir de \u00e9l.<\/p>\n
Sin embargo, la que procede de poner un tri\u00e1ngulo en la base grande, si evitamos volver a repetir la que proviene del tri\u00e1ngulo, nos quedan dos opciones: poner el tri\u00e1ngulo en la otra parte de la base del trapecio original, o en uno de los lados no paralelos (en el otro, vuelve a aparecer el tri\u00e1ngulo).<\/p>\n
Por \u00faltimo, en la pieza que ampliaba el trapecio por el lado para formar un paralelogramo, s\u00f3lo podemos alargarlo a ser otro trapecio si no queremos repetir una de las anteriores.<\/p>\n
En total, podemos crear 4 figuras diferentes, conocidas como pentamantes.<\/p>\n
Ahora, vamos a tratar de descubrir si podemos teselar el plano con ellas o no.
\n\"\"
\nEs evidente que con la que tiene forma de trapecio s\u00ed es posible, ya que podemos hacer tiras largas unidas.<\/p>\n
Otra que no es dif\u00edcil entender c\u00f3mo puede funcionar es la que parece casi un hex\u00e1gono, ya que se pueden encajar dos para construir un m\u00f3dulo similar a un hex\u00e1gono alargado, y teselar el plano con \u00e9l.
\n\"\"
\nLa otra figura alargada es algo m\u00e1s compleja. A m\u00ed se me ocurri\u00f3 poner varias en paralelo, y despu\u00e9s otras giradas 180\u00ba, de forma que encajaran como una cremallera.
\n\"\"
\nPor \u00faltimo, la pieza que queda me parece mucho m\u00e1s dif\u00edcil, pero tambi\u00e9n es posible teselar con ella. Sin embargo, es dif\u00edcil explicarlo sin aportaci\u00f3n gr\u00e1fica. Se trata de combinarlas de dos en dos y sacar una fila con escalones, para luego unirla a otra id\u00e9ntica.
\n\"\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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