{"id":227,"date":"2017-10-28T09:33:53","date_gmt":"2017-10-28T09:33:53","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=227"},"modified":"2017-11-08T08:48:44","modified_gmt":"2017-11-08T08:48:44","slug":"numeros-guayaquileanos-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/10\/28\/numeros-guayaquileanos-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros guayaquileanos"},"content":{"rendered":"
Olimpiada del Cono Sur, primer problema del a\u00f1o 2017<\/pre>\n
Diremos que un n\u00famero es guayaquileano si la suma de los d\u00edgitos de n es igual que la suma de los d\u00edgitos de n\u00b2.<\/p>\n
Encuentra todos los posibles valores que puede dar la suma de las cifras de un n\u00famero guayaquileano.<\/p>\n
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Soluci\u00f3n:
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Probando varios n\u00fameros, r\u00e1pidamente encontramos que puede ser 1, 9 y 10. Ejemplos inmediatos son 1 (y 10, y 100), 9 (y 18), y 19. Pero no es sencillo encontrar m\u00e1s.<\/p>\n
Sumar las cifras de un n\u00famero est\u00e1 relacionado con los m\u00faltiplos de 9. Sabemos que si las cifras de un n\u00famero suman m\u00faltiplo de 9, el n\u00famero lo es. Pero no s\u00f3lo ocurre \u00e9sto, si no que la suma de las cifras de un n\u00famero nos indica cu\u00e1nto es el resto al dividirlo entre 9. Es decir, que la suma de las cifras tendr\u00e1 el mismo resto que el n\u00famero original al dividirlo entre 9.<\/p>\n
Esto sucede debido a la forma que las cifras se relacionan con el valor de un n\u00famero. Veamos, si las cifras de un n\u00famero son, por ejemplo, 4, 6 y 8, en ese orden, quiere decir que en realidad ese n\u00famero es el 400 + 60 + 8 =  468. Es decir, que en realidad las cifras, multiplicadas por una potencia de 10, suman lo mismo que el n\u00famero. Ahora bien, como las potencias de 10 tienen un m\u00faltiplo de 9 como n\u00famero anterior (el anterior a 10 es 9, el anterior a 100 es 99 y as\u00ed sucesivamente), tendremos que 468 = 4*(99 + 1) + 6*(9 + 1) + 8 = 4*99 + 6*9 + 4 + 6 + 8, es decir que 468 es igual a un m\u00faltiplo de 9 m\u00e1s la suma de sus cifras. Es evidente que eso puede pasar con cualquier n\u00famero natural escrito en la forma habitual, as\u00ed que su resto al dividir entre nueve es el mismo, ya que la parte que es m\u00faltiplo de 9 no aporta nada al resto.<\/p>\n
Ahora bien, esto aclara muchas cosas, ya que si el n\u00famero fuese de resto 2, su cuadrado ser\u00eda de resto 4, y ambos no podr\u00edan tener la misma suma. Algo similar pasa si es de resto 3, su cuadrado tendr\u00eda el mismo resto que 9, es decir, 0.<\/p>\n
Los que tengan de resto 4, tendr\u00edan un cuadrado de resto 7 (ya que 16 lo tiene), igual que los de 5 (25 tiene resto 7). Ninguno de los dos podr\u00edan ser del tipo buscado. Los de resto 6 cumplen la misma condici\u00f3n que los de resto 3. Los que son de resto 7 tienen un cuadrado que es de resto 4 (como el n\u00famero 49), y los de resto 8, por \u00faltimo, tienen un cuadrado de resto 1 (como el 64).<\/p>\n
Es decir, que como mucho podr\u00edan ser suma de un n\u00famero guayaquileano aquellos n\u00fameros que tienen restos 0 o 1 al dividir por 9, como 1, 9, 10, 18, 19, 27, 28.<\/p>\n
Pero nos falta obtener al menos un n\u00famero que d\u00e9 como resultado esa suma para finalizar el problema.<\/p>\n
Para conseguir los m\u00faltiplos de 9, la idea nos la da el primer n\u00famero que suma 18, que es 99. Al elevarlo al cuadrado da (100 \u2013 1)\u00b2 = 10000 \u2013 200 + 1 = 9801, y sus cifras tambi\u00e9n suman 18. Probando con el primero que suma 27, 999, obtenemos que su cuadrado es 100\u00b2  – 200 + 1 = 998001, por lo que de nuevo es guayaquileano. As\u00ed podemos obtener todos los m\u00faltiplos de 9, ya que 99…9\u00b2 = 99…980…01 y claramente suman lo mismo.<\/p>\n
Para los n\u00fameros que suman un n\u00famero de resto 1 la cosa es algo m\u00e1s dif\u00edcil, pero no mucho. Una pista es volver a trabajar de la misma forma, ya que el primer n\u00famero que suma 10 es 19, y el primero que suma 19 es 199.<\/p>\n
De nuevo 19\u00b2 es 361, y ambos n\u00fameros tienen 10 por suma de sus d\u00edgitos. Claro que 199\u00b2 = (200 \u2013 1)\u00b2 = 40000 \u2013 400 + 1 = 39601. De nuevo ambos suman 19.<\/p>\n
Es f\u00e1cil mostrar que 199…9\u00b2 = 399…9600..01, y que el n\u00famero y su cuadrado tienen la misma suma de cifras exactamente, pues tienen un 9 menos, aunque un 3 y un 6 m\u00e1s.<\/p>\n
Es posible que haya otros casos que sumen esas cantidades, pero estos casos existen seguro, de forma que las posible sumas ser\u00e1n todos los m\u00faltiplos de 9 y todos los n\u00fameros que tienen resto 1 al dividirlos por 9. Y ning\u00fan otro, ya que los restos no coincidir\u00e1n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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