{"id":2288,"date":"2021-12-18T07:40:47","date_gmt":"2021-12-18T07:40:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2288"},"modified":"2021-12-18T07:40:47","modified_gmt":"2021-12-18T07:40:47","slug":"solucion-a-juego-de-estrategia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2021\/12\/18\/solucion-a-juego-de-estrategia\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a juego de estrategia"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la fase nacional de 2017 de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola\r\nSe dirige a una edad de: 16 - 17 a\u00f1os<\/pre>\n
Se dispone de una fila de 2018 casillas, numeradas consecutivamente de 0 a 2017.
\nInicialmente, hay una ficha colocada en la casilla 0.<\/p>\n
Dos jugadores A y B juegan alternativamente, empezando A, de la siguiente manera:<\/p>\n
En su turno, cada jugador puede, o bien hacer avanzar la ficha 53 casillas, o bien hacer retroceder la ficha 2 casillas, sin que en ning\u00fan caso se sobrepasen las casillas 0 \u00f3 2017.<\/p>\n
Gana el jugador que coloque la ficha en la casilla 2017.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l de ellos dispone de una estrategia ganadora, y c\u00f3mo tendr\u00eda que jugar para asegurarse ganar?\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEmpezamos pensando en el principio del juego, y en el final. Sobre todo en el final.<\/p>\n
Al primer jugador que mueva le llamamos A y al segundo B.<\/p>\n
La idea es que al principio A no tiene opciones: s\u00f3lo puede mover 53 hacia delante, y situarse en la casilla 53. A partir de ah\u00ed, B tiene la posibilidad de mover a 106, o bien retroceder a 51.<\/p>\n
Y por tanto es el que puede empezar a pensar que puede elegir.<\/p>\n
Veamos el final.<\/p>\n
Llamemos G a una posici\u00f3n ganadora antes de jugar y P a una posici\u00f3n perdedora. Veremos si G se puede lograr que sea B o que sea A.<\/p>\n
El ultimo movimiento para ganar es mover 53 hacia delante, as\u00ed que tiene que venir del 2017 – 53 = 1964, que es de tipo G.<\/p>\n
Un jugador deber\u00eda evitar mover a esa casilla, as\u00ed que debe venir de 1966 sin remedio.<\/p>\n
Para llegar ah\u00ed, puede haber movido desde 1968 o bien desde 1966 – 53 = 1913, as\u00ed que son posiciones G, que debe evitar darle el rival a toda costa, as\u00ed que si mueve ah\u00ed no puede evitarlo.<\/p>\n
Quiero decir, si est\u00e1 en 1970 es inevitable, porque no puede mover hacia delante (es una posici\u00f3n P), pero si est\u00e1 en 1915 no tiene sentido que mueva hacia 1913, deber\u00eda mover hacia adelante, aunque 1915 + 53 = 1968 y le dar\u00eda al otro jugador una posici\u00f3n ganadora. Pero eso lo podemos estudiar luego.<\/p>\n
Ya podemos tener por tanto una serie de posiciones perdedoras y ganadoras mayores que 1964:<\/p>\n
Perdedoras: 1966, 1970, 1974, ….<\/p>\n
Ganadoras: 1964, 1968, 1972, ..<\/p>\n
Fij\u00e9monos ahora en el n\u00famero 1963. Si est\u00e1s ah\u00ed y avanzas, vas al 2016, que es una ganadora, y le estar\u00edas dando la partida a tu rival.<\/p>\n
Pero si retrocedes 2, vas al 1961, y tu rival te manda a 2014, que es de las perdedoras…<\/p>\n
Por lo tanto, 1963 es perdedora. En cualquier caso, tu rival te manda al 2014.<\/p>\n
La diferencia entre 1963 y 2014 es exactamente 51. En este caso, se puede trabajar un poco m\u00e1s el razonamiento, pero la clave es que uno siempre puede hacer que el rival se encuentre 51 m\u00e1s arriba que antes.<\/p>\n
Porque si el rival avanza 53, puede retroceder 2, y si retrocede 2, avanzas 53. Llamaremos a este m\u00e9todo \u201cjugar el contrario\u201d. Descubrir esto es vital para resolver el problema.<\/p>\n
Ahora, vamos a ver qu\u00e9 diferencia hay entre 53 (la posici\u00f3n en la que empieza B) y 1964, y cu\u00e1ntas veces puedes hacer avanzar al rival 51 hasta llegar a la zona que hemos estudiado parcialmente:<\/p>\n
Resulta que 1964 – 53 = 1911, y 1911\/51 da algo m\u00e1s de 37. Luego 53 + 38*51 = 1991, desde donde podr\u00edamos forzar el juego, pero el problema es que es impar…<\/p>\n
Y si hacemos un primer movimiento con B hacia el 106, y sumamos 37*51 tambi\u00e9n llegamos a un impar…<\/p>\n
Eso significa que hay que estudiar los impares tambi\u00e9n.<\/p>\n
Veamos entonces los impares…<\/p>\n
Si caemos en el 1965, no hay m\u00e1s remedio que ir al 1963, que es perdedora. Luego 1965 es ganadora.<\/p>\n
En cambio, 1967 es perdedora, porque no tienes m\u00e1s opci\u00f3n que bajar al 1965…<\/p>\n
Luego tenemos la cosa f\u00e1cil:<\/p>\n
1965, 1969, 1973, … (en general los que son uno m\u00e1s que un m\u00faltiplo de 4) ganadora<\/p>\n
1963, 1967, 1971, … (en general los que son uno menos que un m\u00faltiplo de 4), perdedora.<\/p>\n
Es decir, que empezamos en el 0, A pasa al 53. Y, efectivamente, uno de los dos tiene posibilidad de ganar, pero es el A. Ve\u00e1moslo:<\/p>\n
A partir de ese momento, A lleva al B, jugando de forma contraria a \u00e9l, de 51 en 51, durante 38 jugadas. En ese momento, le toca a B y estar\u00eda en el 1991.<\/p>\n
Desde ah\u00ed, B no tiene m\u00e1s remedio que bajar 2 y A tambi\u00e9n, as\u00ed que B va bajando de 4 en 4 hasta el 1963.<\/p>\n
Ahora, el B puede elegir, pero A juega a la contra y le lleva al 2014.<\/p>\n
De nuevo el B baja de 2 y A tambi\u00e9n, as\u00ed que B se va encontrando 4 m\u00e1s abajo hasta el 1966.<\/p>\n
La \u00faltima vez que baja 2, B lleva a A al 1964, desde donde sumando 53 llega a al 2017 y por tanto A gana la partida sin remedio, aunque se vea obligado a mover de forma \u00fanica en la primera jugada.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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