{"id":2302,"date":"2022-01-01T09:38:26","date_gmt":"2022-01-01T09:38:26","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2302"},"modified":"2022-01-05T09:43:17","modified_gmt":"2022-01-05T09:43:17","slug":"solucion-a-tres-cubos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/01\/01\/solucion-a-tres-cubos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tres cubos"},"content":{"rendered":"
Problema 5 del nivel B fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021\r\nSe dirige a una edad de: 14 - 15 a\u00f1os<\/pre>\n
Demuestra que la suma tres cubos consecutivos es m\u00faltiplo de 9.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nNo suele haber muchos problemas de demostraci\u00f3n en este nivel, pero creo que est\u00e1 claro que este tipo de demostraci\u00f3n necesita hacer uso, en mayor o menor medida, de \u00e1lgebra.<\/p>\n
Cuando se refiere a tres cubos consecutivos, se refiere a tres n\u00fameros enteros consecutivos al cubo.<\/p>\n
La manera corta de hacerlo es pensando en m\u00faltiplos de 3. Si consideramos que uno de ellos es de la forma 3p, otro es de la forma 3q + 1 y otro es de la forma 3r \u2013 1, y los elevamos al cubo, tendremos tres n\u00fameros que ser\u00e1n 27p\u00b3, 27q\u00b3 + 27q\u00b2 + 9q + 1 y 27r\u00b3 \u2013 27r\u00b2 + 9r \u2013 1, con lo que la suma ser\u00e1  27p\u00b3 + 27q\u00b3 + 27q\u00b2 + 9q + 27r\u00b3 \u2013 27r\u00b2 + 9r = 9(3p\u00b3 + 3q\u00b3 + 3q\u00b2 + q + 3r\u00b3 \u2013 3r\u00b2 + r), que claramente es m\u00faltiplo de 9.<\/p>\n
Si no conoces la manera de elevar al cubo una expresi\u00f3n de este tipo, voy a poner un ejemplo: (3r \u2013 1)\u00b3 = (3r \u2013 1)\u00b2(3r \u2013 1) = (9r\u00b2 \u2013 6r + 1)(3r \u2013 1) = 27r\u00b3 \u2013 9r\u00b2 \u2013 18r\u00b2 + 6r + 3r \u2013 1 = 27r\u00b3 \u2013 27r\u00b2 + 9r \u2013 1.<\/p>\n
Hay otra manera sencilla que usar\u00eda expresiones modulares. Si consideramos los n\u00fameros m\u00f3dulo 9, tenemos que tres n\u00fameros consecutivos s\u00f3lo podr\u00edan ser de las siguientes formas: 0 \u2013 1 \u2013 2 , 1 \u2013 2 \u2013 3, 2 \u2013 3 \u2013 4, 3 \u2013 4 \u2013 5, 4 \u2013 5 \u2013 6, 5 \u2013 6 \u2013 7, 6 \u2013 7 \u2013 8, 7 \u2013 8 \u2013 0, y 8 \u2013 0 \u2013 1 (9 formas). Si elevamos al cubo cada uno de los 8 posibles n\u00fameros (m\u00f3dulo 9), tendr\u00edamos que 0 da 0, 1 da 1, 2 da 8, 3 da 0, 4 da 1, 5 da 8, 6 da 0, 7 da 1 y 8 da 8, de forma que vemos que tres n\u00fameros consecutivos da una suma de 0 + 1 + 8 = 0, m\u00f3dulo 9.<\/p>\n
Las operaciones con m\u00f3dulos funcionan de la siguiente forma: si multiplicamos 7 por 7, normalmente dar\u00eda 49, pero m\u00f3dulo 9 da 4, ya que 49 = 45 + 4 = 9\u00b75 + 4. As\u00ed que 7\u00b77\u00b77 m\u00f3dulo 9 da 4\u00b77, que deber\u00eda dar 28, lo que equivale a 1 m\u00f3dulo 9, ya que 28 = 3\u00b79 + 1.<\/p>\n
Una manera asequible a este nivel de trabajar con m\u00f3dulos es expresar por ejemplo un n\u00famero como (\u00b79) + a. La expresi\u00f3n (\u00b79) simboliza a uno de los m\u00faltiplos de 9. As\u00ed, podr\u00edamos por ejemplo probar que ((\u00b79) + 7)((\u00b79) + 7) = (\u00b79) + 49 = (\u00b79) + 5\u00b79 + 4 = (\u00b79) + 4.<\/p>\n
En realidad, lo m\u00e1s habitual es representar los m\u00faltiplos de 9 con un punto sobre el 9, pero no s\u00e9 como escribir eso en el blog.<\/p>\n
Si tenemos cierta facilidad con n\u00fameros negativos podemos aprovechar el hecho de que, m\u00f3dulo 9, 8 equivale a -1, 7 equivale a -2, 6 equivale a -3 y 5 equivale a -4.<\/p>\n
Otra manera de probarlo ser\u00eda por inducci\u00f3n. Est\u00e1 claro que 1\u00b3 + 2\u00b3 + 3\u00b3 = 1 + 8 + 27 = 36 es m\u00faltiplo de 9. supongamos que x\u00b3 + (x + 1)\u00b3 + (x + 2)\u00b3 es m\u00faltiplo de 9. \u00bfQu\u00e9 podr\u00edamos afirmar de (x + 1)\u00b3 + (x + 2)\u00b3 + (x + 3)\u00b3? Si nos fijamos bien, la diferencia entre las dos expresiones es (x + 3)\u00b3 \u2013 x\u00b3, que podemos expresar como x\u00b3 + 9x\u00b2 + 27x + 27 \u2013 x\u00b3 =  9x\u00b2 + 27x + 27 = 9\u00b7(x\u00b2 + 3x + 3), que claramente es un m\u00faltiplo de 9, de forma que est\u00e1 claro que (x + 1)\u00b3 + (x + 2)\u00b3 + (x + 3)\u00b3 es tambi\u00e9n un m\u00faltiplo de 9.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 5 del nivel B fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021 Se dirige a una edad de: 14 – 15 a\u00f1os Demuestra que la suma tres cubos consecutivos es m\u00faltiplo de 9. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2302","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2302","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2302"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2302\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2310,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2302\/revisions\/2310"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2302"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2302"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2302"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}