{"id":2322,"date":"2022-01-15T12:49:03","date_gmt":"2022-01-15T12:49:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2322"},"modified":"2022-01-15T12:49:03","modified_gmt":"2022-01-15T12:49:03","slug":"solucion-a-tableros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/01\/15\/solucion-a-tableros\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tableros"},"content":{"rendered":"
Problema 1 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Tenemos un tablero cuadrado 5×5 y las 5 piezas en forma de \u201cL\u201d (excepto una que es un cuadrado) que se muestran:<\/p>\n
Hay muchas maneras de situar las piezas de forma que llenen el tablero, se muestran tres ejemplos.<\/p>\n
a) Determina de cu\u00e1ntas formas diferentes se pueden situar las cinco piezas para llenar el tablero, que siempre consideramos con la misma orientaci\u00f3n (la pieza cuadrada no se distingue si est\u00e1 girada o no, as\u00ed que siempre se considera que est\u00e1 puesta de la misma forma salvo que cambiemos su ubicaci\u00f3n).<\/p>\n
b) \u00bfEn cu\u00e1ntas de las ocasiones la pieza cuadrada queda situada exactamente en el centro?\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nClaramente se trata de un problema de combinatoria, que hay que resolver pacientemente.<\/p>\n
Los t\u00e9rminos pertenecen a una sucesi\u00f3n, as\u00ed que podemos tratar de resolverlos por inducci\u00f3n, referenciando siempre de un t\u00e9rmino a otro.<\/p>\n
Lo m\u00e1s r\u00e1pido, para abordar el apartado (a) es tratar de colocar primero la pieza mayor, cosa que s\u00f3lo podremos hacer de 4 formas, y nos quedar\u00e1 una zona 4×4 para cubrir con las otras 4 piezas.<\/p>\n
As\u00ed, que si damos con el n\u00famero de formas en las que podemos situar las 4 piezas y les llamamos F4, el n\u00famero total de formas para colocar las 5 cumplir\u00e1 F5 = 4\u00b7F4.<\/p>\n
De forma similar, tenemos que F4 = 4\u00b7F3, que F3 = 4\u00b7F2, y por tanto, como F1 (formas de llenar un cuadrado con el cuadrado) seg\u00fan el enunciado es 1, tenemos que F5, que es el n\u00famero que buscamos, ser\u00e1 4\u2074 = 64.<\/p>\n
Para el apartado (b) parece l\u00f3gico tratar de hacer algo similar, pero iniciando el proceso desde la zona menor hacia arriba, ya que ahora sabemos que el centro est\u00e1 ocupado por el cuadrado de lado 1.<\/p>\n
Eso significa que disponemos de 4 formas de poner la pieza de tama\u00f1o siguiente (la verde en la imagen), y son sim\u00e9tricas.<\/p>\n
Observamos que poner la \u00faltima pieza es trivial si hemos dejado sitio: s\u00f3lo tendremos un hueco.<\/p>\n
Ahora, podemos poner la pieza siguiente de 4 formas tambi\u00e9n, pero cambia mucho que la pongamos en un sitio u otro, porque si estamos demasiado cerca del borde, limitaremos el espacio para poner la siguiente pieza. Distinguiremos 4 grupos en los 16 casos que tenemos hasta ahora.
\n\"\"
\nDistinguimos 3 casos en especial dentro de esos 4 grupos.<\/p>\n
Si ponemos la pieza roja sin ning\u00fan contacto con el cuadrado central (4 casos), tocamos dos bordes, con lo que s\u00f3lo hay 1 forma de situar la azul.<\/p>\n
Si la ponemos de forma que tenga un \u00fanico contacto con un borde del cuadrado central (8 casos), con lo que toca un \u00fanico borde exterior, entonces hay 2 formas de situar la azul (hay que tener en cuenta que hay que dejar sitio para la grande), por lo que tendremos 16 formas m\u00e1s de completar.<\/p>\n
Por \u00faltimo, si ponemos la pieza roja en el lado opuesto de la verde, con dos lados en contacto con la pieza central (4 casos), entonces dejamos mucho sitio para poner la pieza azul, tenemos 4 formas de colocarla. Por eso a\u00f1adimos otras 16 formas.<\/p>\n
En total, tenemos 16 + 16 + 4 = 36 formas diferentes en las que la pieza cuadrada queda exactamente en el centro.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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