{"id":2342,"date":"2022-02-05T18:00:01","date_gmt":"2022-02-05T18:00:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2342"},"modified":"2022-02-05T18:00:01","modified_gmt":"2022-02-05T18:00:01","slug":"solucion-a-antena-de-telefonia-fija","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/02\/05\/solucion-a-antena-de-telefonia-fija\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a antena de telefon\u00eda fija"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Una antena de telefon\u00eda se fija verticalmente sobre una base rectangular horizontal, de v\u00e9rtices ABCD, con cables que van desde el extremo superior de la antena a los cuatro v\u00e9rtices de la base.<\/p>\n<p>Conocemos la longitud de tres cables, que son:<\/p>\n<p>El cable que va del v\u00e9rtice A a la antena, que tiene a metros.<\/p>\n<p>El cable que va del v\u00e9rtice B a la antena, que tiene b metros.<\/p>\n<p>El cable que va del v\u00e9rtice C a la antena, que tiene c metros.<\/p>\n<p>Estos tres datos permiten determinar la longitud del cuarto cable, que se une al v\u00e9rtice D. Calcula, en funci\u00f3n de a, b y c, la longitud del cable que falta.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2340\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/01\/232.Antena.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/01\/232.Antena.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/01\/232.Antena-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nY llegamos a un problema de geometr\u00eda tridimensional.<\/p>\n<p>Hay varias formas de tratar de resolverlo, que se basan en que la antena tendr\u00e1 una determinada altura y estar\u00e1 situada en un punto determinado, puede que sea el centro o no del rect\u00e1ngulo (si lo fuese a, b y c ser\u00edan iguales), y que la antena es perpendicular al rect\u00e1ngulo.<\/p>\n<p>Cada persona que participaba en el concurso obten\u00eda un juego de datos diferente, de forma que la respuesta deb\u00eda estar personalizada (no era con f\u00f3rmulas).<\/p>\n<p>Podemos aplicar el Teorema de Pit\u00e1goras a los datos, o bien estudiar todo el problema con coordenadas tridimensionales.<\/p>\n<p>Veamos el estudio con coordenadas. Supongamos que las longitudes del rect\u00e1ngulo son x e y (las cuatro coordenadas pueden ser A(0, 0, 0), B(x, 0, 0), C(x, y, 0) y D(0, y, 0)), y las coordenadas del extremo superior de la antena son P(z, t, u), con u &gt; 0.<\/p>\n<p>Los datos que tenemos son d(A, P) = a, d(B, P) = b, d(C, P) = c, y lo que debemos averiguar es d(D, P).<\/p>\n<p>Situando los datos de forma polin\u00f3mica, a\u00b2 = z\u00b2 + t\u00b2 + u\u00b2, b\u00b2 = (z \u2013 x)\u00b2 + t\u00b2 + u\u00b2,  c\u00b2 = (z \u2013 x)\u00b2 + (t \u2013 y)\u00b2 + u\u00b2. El objetivo es conocer d\u00b2 = z\u00b2 + (t \u2013 y)\u00b2 + u\u00b2.<\/p>\n<p>Restando las dos primeras igualdades (ya que son muy parecidas), tenemos que a\u00b2 \u2013 b\u00b2 = z\u00b2 \u2013 (z \u2013 x)\u00b2 = x\u00b2 + 2zx. Sin embargo, de la misma forma, viendo puesto que la tercera igualdad y el objetivo son tambi\u00e9n muy parecidas, tenemos que d\u00b2 \u2013 c\u00b2 = z\u00b2 \u2013 (z \u2013 x)\u00b2 = x\u00b2 + 2zx = a\u00b2 \u2013 b\u00b2.<\/p>\n<p>Puesto que a, b y c son conocidos, tenemos que d\u00b2 = a\u00b2 \u2013 b\u00b2 + c\u00b2, de donde podemos calcular d mediante la ra\u00edz cuadrada: d = ra\u00edz(a\u00b2 \u2013 b\u00b2 + c\u00b2).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Una antena de telefon\u00eda se fija verticalmente sobre una base rectangular horizontal, de v\u00e9rtices ABCD, con cables que van desde el extremo superior de la antena a los cuatro v\u00e9rtices de la base. 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