{"id":2354,"date":"2022-02-19T19:06:54","date_gmt":"2022-02-19T19:06:54","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2354"},"modified":"2022-02-19T19:06:54","modified_gmt":"2022-02-19T19:06:54","slug":"solucion-a-numeros-bonitos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/02\/19\/solucion-a-numeros-bonitos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros bonitos"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Un n\u00famero n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos n\u00fameros de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.<\/p>\n
Determinar cu\u00e1les de los siguientes n\u00fameros son bonitos:<\/p>\n
6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEn principio, lo \u00fanico que tenemos que emplear en este problema es el algoritmo de la suma y la propiedad que indica que cuando sumamos un n\u00famero par y un impar, da como resultado un n\u00famero impar.<\/p>\n
Mirando las cifras de los n\u00fameros s y t que suman n, todos los resultados parciales de la suma deber\u00edan ser impares, luego si aparece en n un d\u00edgito par debe ser resultado de un acarreo, es decir, que la suma de las cifras que est\u00e1n a la derecha deben sumar m\u00e1s de 10. Puesto que s\u00f3lo vamos a sumar dos n\u00fameros, el acarreo es a lo sumo 1.<\/p>\n
Por ejemplo, tomemos 6204773. Descompongamos el n\u00famero en d\u00edgitos de izquierda a derecha.<\/p>\n
Primero encontramos un 6, por lo que de existir estos valores s y t, los d\u00edgitos correspondientes deben sumar 5 y en la siguiente posici\u00f3n debe exceder a 10.<\/p>\n
En segundo lugar, un 2, por lo que los d\u00edgitos de s y t deben sumar 11 y en la posici\u00f3n siguiente deben exceder a 10.<\/p>\n
En tercer lugar, un 0, por lo que los d\u00edgitos  de s y t deben sumar 9 y en la posici\u00f3n siguiente exceder a 10.<\/p>\n
En cuarto lugar un 4, luego los d\u00edgitos deben sumar 13 y la siguiente exceder a 10.<\/p>\n
En quinto lugar un 7, luego deben sumar 17 los d\u00edgitos (necesariamente deben ser un 8 y un 9).<\/p>\n
En sexto lugar un 7, luego deben sumar 7.<\/p>\n
En s\u00e9ptimo lugar un 3, luego deben sumar 3.<\/p>\n
No hay ninguna contradicci\u00f3n, por lo que podemos encontrar varios n\u00fameros s y t, por ejemplo 6204773 = 2646842 + 3557931, luego es bonito.<\/p>\n
Procediendo de similar manera con los otros, veamos qu\u00e9 ocurre.<\/p>\n
Para 6372538, las \u00faltimas cifras deber\u00edan sumar 8, cosa que es imposible si una de ellas es impar y la otra par. Luego  6372538 no es bonito.<\/p>\n
Para  7343053, las primeras deben sumar 7, las segundas 3, las terceras 3, las cuartas 13, las quintas deben sumar \u00a10!. No es posible, ya que no se puede conseguir un cero salvo que la cifra a la izquierda sea par y por lo tanto tengamos que tener un acarreo de 1, y sumemos por tanto 9 + 1 = 10, como en el caso anterior. Luego 7343053 no es bonito.<\/p>\n
Para  8993267, las primeras deben sumar 7, las segundas deben sumar 19, lo que no es posible, ya que una cifra par y otra impar a lo sumo suman 17. Luego 8993267 no es bonito. Por tanto, tampoco es posible que un n\u00famero bonito tenga una cifra 9 con un d\u00edgito par a la izquierda, debido a que en ese caso los dos d\u00edgitos deben sumar 19 sin acarreo, cosa imposible.<\/p>\n
Por \u00faltimo, para  9652393, las primeras cifras deben sumar 9, las segundas 5, las terceras 15, las cuartas 1, las quintas 13, las sextas 9 y las s\u00e9ptimas 3. Por ejemplo, 9652393 = 4280642 + 5371751, luego es bonito.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes ma\u00f1ana) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Un n\u00famero n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos n\u00fameros de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2354","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2354","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2354"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2354\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2356,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2354\/revisions\/2356"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2354"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2354"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2354"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}