{"id":2362,"date":"2022-02-26T08:27:22","date_gmt":"2022-02-26T08:27:22","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2362"},"modified":"2022-02-26T08:28:41","modified_gmt":"2022-02-26T08:28:41","slug":"bisectriz-en-un-isosceles-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/02\/26\/bisectriz-en-un-isosceles-2\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a bisectriz en un is\u00f3sceles"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea ABC un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles con el \u00e1ngulo BAC de 100\u00ba.<\/p>\n
La bisectriz del \u00e1ngulo CBA corta al lado AC en el punto D.<\/p>\n
Demostrar que BD + DA = BC.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLos problemas de geometr\u00eda suelen ser todo un reto en este nivel.<\/p>\n
Veamos dos formas diferentes de solucionar el problema y hacer la demostraci\u00f3n.<\/p>\n
Una de ellas es m\u00e1s est\u00e1ndar, es decir, se deber\u00eda poder hacer en cualquier caso. Completamos los \u00e1ngulos que hay en el dibujo, y tenemos dos tri\u00e1ngulos adyacentes, el ABD y el BDC, que comparten el lado BD.
\n\"\"
\nAplicando el Teorema del seno, podemos relacionar BD con todos los lados implicados en la igualdad que queremos probar, ya que BD\/sen(40) = BC\/sen(120\u00ba).<\/p>\n
BC = sen(120\u00ba)BD\/sen(40\u00ba) = sen(60\u00ba)BD\/sen(40\u00ba).<\/p>\n
Veamos ahora c\u00f3mo representar la otra parte de la igualdad, a ver si da lo mismo.<\/p>\n
BD\/sen(100\u00ba) = DA\/sen(20\u00ba), de forma que DA = sen(20\u00ba)BD\/sen(100\u00ba) .<\/p>\n
Por lo tanto, BD + DA = BD + sen(20\u00ba)BD\/sen(100\u00ba).<\/p>\n
Reduciendo a denominador com\u00fan, tenemos que BD + DA = BD(sen (100\u00ba) + sen(20\u00ba))\/sen(100\u00ba).<\/p>\n
Ahora, basta comprobar que estas dos fracciones son iguales: (sen (100\u00ba) + sen(20\u00ba))\/sen(100\u00ba) y sen(60\u00ba)\/sen(40\u00ba).<\/p>\n
Para eso, hay que transformas la suma de senos en producto (sen(100\u00ba) + sen(20\u00ba)) = 2sen(60\u00ba)cos(40\u00ba)  para poder simplificar, y usar que sen(80\u00ba) = 2sen(40\u00ba)cos(40\u00ba) (f\u00f3rmula del \u00e1ngulo doble).<\/p>\n
Entonces queda BD + DA = BD(sen (100\u00ba) + sen(20\u00ba))\/sen(100\u00ba) = BD(2sen(60\u00ba)cos(40\u00ba))\/(2sen(40\u00ba)cos(40\u00ba)) = BD(sen(60\u00ba)\/sen(40\u00ba)) = BC, como quer\u00edamos demostrar.<\/p>\n
Nota: en un momento determinado, sentimos la tentaci\u00f3n de cambiar sen(100\u00ba) por sen(80\u00ba), pero el resultado no se puede simplificar, y por tanto tuve que volver atr\u00e1s y deshacer el cambio.<\/p>\n
La otra forma de enfocar el problema es m\u00e1s geom\u00e9trica, requiere un poco m\u00e1s de creatividad y resulta mucho m\u00e1s atractivo.<\/p>\n
La clave es empezar de la misma forma, poniendo \u00e1ngulos, y descubrimos que hay un \u00e1ngulo de 60\u00ba, \u00a1como en un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero!
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\nAhora, para poner esa longitud AD en l\u00ednea recta con BD para poder sumarlo, podemos dibujar seis tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros y repetir la construcci\u00f3n en el que har\u00eda que estuviese sobre la misma recta que BD.<\/p>\n
Dada la simetr\u00eda de la figura, est\u00e1 claro que la prolongaci\u00f3n del segmento que pasa por el punto H (y que se ha usado para trazarlo) pasa tambi\u00e9n por C, ya que esta l\u00ednea, que forma un \u00e1ngulo de 20\u00ba con uno de los lados de uno de los tri\u00e1ngulos, es sim\u00e9trica respecto a la recta que incluye AC (y C est\u00e1 sobre el eje de simetr\u00eda).<\/p>\n
Esa simetr\u00eda hace que el \u00e1ngulo DCH sea 40\u00ba, por lo que podemos completar los \u00e1ngulos que quedan.
\n\"\"
\nPero si observamos el tri\u00e1ngulo BHC, se aprecia que tiene dos \u00e1ngulos iguales, por lo que es realmente is\u00f3sceles, y por tanto se tiene que BD + DH = BD + AD = BC.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes ma\u00f1ana) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea ABC un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles con el \u00e1ngulo BAC de 100\u00ba. La bisectriz del \u00e1ngulo CBA corta al lado AC en el punto D. Demostrar que BD + DA = BC. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2362","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2362","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2362"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2362\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2369,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2362\/revisions\/2369"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2362"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2362"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2362"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}