{"id":2377,"date":"2022-03-05T06:54:14","date_gmt":"2022-03-05T06:54:14","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2377"},"modified":"2022-03-05T07:01:25","modified_gmt":"2022-03-05T07:01:25","slug":"solucion-a-igualdad-y-conclusion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/03\/05\/solucion-a-igualdad-y-conclusion\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a igualdad y conclusi\u00f3n"},"content":{"rendered":"
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sean a1<\/sub>, a2<\/sub>, a3<\/sub>, a4<\/sub>, a5<\/sub> y a6<\/sub> n\u00fameros reales diferentes, de manera que ninguno de ellos es igual a 0.<\/p>\n
Supongamos que (a1<\/sub>\u00b2 + a2<\/sub>\u00b2 + a3<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2)(a2<\/sub>\u00b2 + a3<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2 + a6<\/sub>\u00b2) = (a1<\/sub>a2<\/sub> + a2<\/sub>a3<\/sub> +a3<\/sub>a4<\/sub> + a4<\/sub>a5<\/sub> + a5<\/sub>a6<\/sub>)\u00b2.<\/p>\n
Demuestra que los n\u00fameros a1<\/sub>, a2<\/sub>, a3<\/sub>, a4<\/sub>, a5<\/sub> y a6<\/sub> est\u00e1n en progresi\u00f3n geom\u00e9trica.
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\nSoluci\u00f3n:
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\nHe intentado varias v\u00edas de soluci\u00f3n, pero es con mucho el problema m\u00e1s complejo de esta fase, salvo que conozcas la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, en cuyo caso se resuelve directamente.<\/p>\n
Voy a citar tres formas de afrontar el problema, aunque por lo que se coment\u00f3, la \u00fanica manera en la que se encontr\u00f3 soluci\u00f3n en los casos que o\u00ed fue a trav\u00e9s de esta tercera v\u00eda. Eso hace que sea un problema que no me gusta para esta fase, ya que da por sentado que todos los participantes conocen la desigualdad, o bien que ninguno la conoce, ya que es un factor decisivo en este caso.<\/p>\n
Primera forma de resolverlo: comparar con una ecuaci\u00f3n de segundo grado (tremendamente creativo, es la soluci\u00f3n oficial y probablemente el origen del problema).<\/p>\n
La igualdad consiste en un producto de dos n\u00fameros, llam\u00e9mosles A y B, que es igual a otro n\u00famero C\u00b2.<\/p>\n
Si transformamos esta igualdad en una resta, tenemos que es equivalente a 0 = C\u00b2 \u2013 AB. Esta expresi\u00f3n se puede comparar con la expresi\u00f3n que hay dentro de la f\u00f3rmula que permite resolver una ecuaci\u00f3n de segundo grado.<\/p>\n
Si la multiplicamos por 4, obtenemos 0 = 4C\u00b2 \u2013 4AB = (2C)\u00b2 \u2013 4AB. Imaginemos una ecuaci\u00f3n  de segundo grado que ocasionase esa expresi\u00f3n.<\/p>\n
La ecuaci\u00f3n correspondiente de segundo grado ser\u00eda algo as\u00ed como Ax\u00b2 \u2013 2Cx + B = 0, y el hecho de que esa igualdad sea cierta, quiere decir que existe una \u00fanica soluci\u00f3n r para esa ecuaci\u00f3n, es decir, que existe un valor real (que se puede calcular como C\/A, por cierto) que llamaremos r que cumple Ar\u00b2 \u2013 2Cr + B = 0. Veamos qu\u00e9 quiere decir eso en nuestro caso (por cierto, esto forma parte de una de las aut\u00e9nticas demostraciones de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, con lo que en cierta forma el tercer m\u00e9todo permite saltar este original y creativo m\u00e9todo).<\/p>\n
Eso quiere decir, puesto que tendr\u00edamos que A = a1<\/sub>\u00b2 + a2<\/sub>\u00b2 + a3<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2, B = a2<\/sub>\u00b2 + a3<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2 + a6<\/sub>\u00b2 y 2C = 2a1<\/sub>a2<\/sub> + 2a2<\/sub>a3<\/sub> +2a3<\/sub>a4<\/sub> + 2a4<\/sub>a5<\/sub> + 2a5<\/sub>a6<\/sub>, que para ese cierto valor r tendr\u00edamos (a1<\/sub>\u00b2 + a2<\/sub>\u00b2 + a3<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2)r\u00b2 \u2013 (2a1<\/sub>a2<\/sub> + 2a2<\/sub>a3<\/sub> +2a3<\/sub>a4<\/sub> + 2a4<\/sub>a5<\/sub> + 2a5<\/sub>a6<\/sub>)r + a2<\/sub>\u00b2 + a3<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2 + a6<\/sub>\u00b2 = 0.<\/p>\n
Si quitamos par\u00e9ntesis y agrupamos, tendremos la expresi\u00f3n  a1<\/sub>\u00b2r\u00b2 \u2013 2a1<\/sub>a2<\/sub>r +  a2<\/sub>\u00b2 + a2<\/sub>\u00b2r\u00b2 \u2013 2a2<\/sub>a3<\/sub>r +  a3<\/sub>\u00b2 +  a3<\/sub>\u00b2r\u00b2 \u2013 2a3<\/sub>a4<\/sub>r + a4<\/sub>\u00b2 + a4<\/sub>\u00b2r\u00b2 \u2013 2a4<\/sub>a5<\/sub>r + a5<\/sub>\u00b2r\u00b2 + a5<\/sub>\u00b2r\u00b2 \u2013 2a5<\/sub>a6<\/sub>r + a6<\/sub>\u00b2 = 0, lo que nos lleva a una suma de cuadrados, exactamente ser\u00eda (a1<\/sub>r \u2013 a2<\/sub>)\u00b2 + (a2<\/sub>r \u2013 a3<\/sub>)\u00b2 + (a3<\/sub>r \u2013 a4<\/sub>)\u00b2 + (a4<\/sub>r \u2013 a5<\/sub>)\u00b2 + (a5<\/sub>r \u2013 a6<\/sub>)\u00b2 = 0.<\/p>\n
Ahora, puesto que todos esos n\u00fameros son n\u00fameros reales, el que la suma sea 0 y sean todos cuadrados, es decir, mayores o iguales que 0, obliga a que todos sean realmente 0.<\/p>\n
Es decir, que a2<\/sub> = ra1<\/sub>, a3<\/sub> = ra2<\/sub>, a4<\/sub> = ra3<\/sub>, a5<\/sub> = ra4<\/sub> y a6<\/sub> = ra5<\/sub>, que es precisamente la definici\u00f3n de progresi\u00f3n geom\u00e9trica.<\/p>\n
Segunda forma de resolverlo: verlo como un par de vectores num\u00e9ricos de 5 dimensiones (geom\u00e9tricamente puede parecer intuitivo, pero requiere un salto en cuanto a propiedades que no corresponde al nivel que se espera de estos estudiantes).<\/p>\n
Una vez que se ha estudiado c\u00f3mo calcular m\u00f3dulos de vectores en el plano y en el espacio, y el producto escalar, a menudo los estudiantes preguntan si se podr\u00eda hacer en m\u00e1s dimensiones, y la respuesta es que s\u00ed, que el producto escalar y el m\u00f3dulo es generalizable a m\u00e1s dimensiones, y se puede utilizar para usos similares en esos entornos.<\/p>\n
Si pensamos en un vector cuyas componentes sean (a1<\/sub>, a2<\/sub>, a3<\/sub>, a4<\/sub>, a5<\/sub>) y otro cuyas componentes sean  (a2<\/sub>, a3<\/sub>, a4<\/sub>, a5<\/sub>, a6<\/sub>), la igualdad simboliza que el producto escalar al cuadrado es igual al producto de los m\u00f3dulos al cuadrado.<\/p>\n
Eso quiere decir que el producto escalar es igual al producto de los m\u00f3dulos (en valor absoluto). Puesto que es conocido que el producto escalar es el producto de los m\u00f3dulos por el coseno del \u00e1ngulo que forman, eso significa que ambos vectores apuntan en la misma direcci\u00f3n, es decir, que uno de ellos es igual al otro multiplicado por un valor r, que puede ser positivo o negativo (esta idea forma parte de otra demostraci\u00f3n indirecta de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, con lo que en cierta forma el tercer m\u00e9todo permite saltar este m\u00e9todo).<\/p>\n
Pues bien, eso significa que a2<\/sub> = ra1<\/sub>, a3<\/sub> = ra2<\/sub>, a4<\/sub> = ra3<\/sub>, a5<\/sub> = ra4<\/sub> y a6<\/sub> = ra5<\/sub>, que es precisamente la definici\u00f3n de progresi\u00f3n geom\u00e9trica.<\/p>\n
Tercera forma de resolverlo: he visto varios problemas de desigualdades y la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz es una de mis herramientas m\u00e1s preciadas.<\/p>\n
La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz afirma que si tengo dos colecciones de k n\u00fameros reales b1<\/sub>, b2<\/sub>, \u2026 bk<\/sub> y c1<\/sub>, c2<\/sub>, \u2026 ck<\/sub>, resulta que la suma al cuadrado (b1<\/sub>c1<\/sub> + b2<\/sub>c2<\/sub> + \u2026 + bk<\/sub>ck<\/sub>)\u00b2 siempre es menor o igual que el producto de las dos sumas (b1<\/sub>\u00b2 + b2<\/sub>\u00b2 + \u2026 bk<\/sub>\u00b2)(c1<\/sub>\u00b2 + c2<\/sub>\u00b2 + \u2026 + ck<\/sub>\u00b2). Adem\u00e1s, si se da la igualdad, entonces cada unos de los n\u00fameros ci<\/sub> = rbi<\/sub> para un mismo valor r, tambi\u00e9n real.<\/p>\n
En este caso, es evidente que aplicarlo a la igualdad inicial, puesto que se da la igualdad, quiere decir que existe un valor real r de forma que a2<\/sub> = ra1<\/sub>, a3<\/sub> = ra2<\/sub>, a4<\/sub> = ra3<\/sub>, a5<\/sub> = ra4<\/sub> y a6<\/sub> = ra5<\/sub>, que es precisamente la definici\u00f3n de progresi\u00f3n geom\u00e9trica.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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