{"id":238,"date":"2017-11-04T10:11:12","date_gmt":"2017-11-04T10:11:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=238"},"modified":"2017-11-08T08:49:12","modified_gmt":"2017-11-08T08:49:12","slug":"seis-consecutivos-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/11\/04\/seis-consecutivos-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a seis consecutivos"},"content":{"rendered":"
Olimpiada Junior de los Balcanes, 2017.\r\nSe dirige a una edad de: 16 a\u00f1os<\/pre>\n
Encuentra todos los conjuntos de seis n\u00fameros enteros positivos consecutivos que cumplen que si multiplicamos dos de ellos y le sumamos el producto de otros dos, obtenemos lo mismo que si multiplicamos los otros dos restantes.<\/p>\n
Hay que encontrar todos los conjuntos y demostrar que no existen m\u00e1s.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n
<\/p>\n
Podr\u00edamos pensar que es suficiente usar \u00e1lgebra, y combinar los seis n\u00fameros en los tres posibles productos, pero son muchas las combinaciones y hay que buscar una manera sensata de recortarlas.<\/p>\n
Como son seis, podemos tratar de pensar en pares e impares, y en diferentes restos al dividir entre tres, para reducir mucho el n\u00famero de pruebas.<\/p>\n
Como sabemos las tablas de multiplicar y de sumar m\u00f3dulo dos, es decir, si son pares o impares todos los posibles resultados de pares o impares, podemos distinguir dos casos. Como hay tres pares y tres impares entre los seis n\u00fameros, al menos dos de los productos contendr\u00e1n pares, pero si se juntan dos impares, tendremos que uno de los resultados ser\u00e1 impar, y los otros dos pares, cosa que es imposible. As\u00ed pues, necesitamos agrupar un par con un impar en cada uno de los productos.<\/p>\n
Por otra parte, las tablas de multiplicar seg\u00fan resto m\u00f3dulo tres (al dividir entre tres) s\u00f3lo tiene la peculiaridad de que 2\u00b72 = 1 (mod 3), es decir, al multiplicar dos n\u00fameros de resto dos, da un n\u00famero de resto uno. Eso significa que, como hay dos n\u00fameros m\u00faltiplo de tres, no pueden ir separados (porque uno de los resultados no ser\u00eda m\u00faltiplo de tres, y los otros dos s\u00ed), y, puesto que van juntos los dos m\u00faltiplos de 3, los otros dos son del mismo tipo, al agrupar 1\u00b72 y 1\u00b72, que ambos dan como resultado 2, o bien 1\u00b71 y 2\u00b72, que ambos dan como resultado 1. Por lo tanto, los m\u00faltiplos de 3 siempre van sumando, es decir, 1\u00b71 + 0\u00b70 = 2\u00b72 (mod 3), o bien 1\u00b72 + 0\u00b70 = 1\u00b72 (mod 3).<\/p>\n
Ahora, puesto que uno de los tres primeros ha de ser el que es m\u00faltiplo de 3, analicemos por separado los tres casos. Cada uno de ellos da lugar a dos ecuaciones de segundo grado, a las que debemos buscar soluciones enteras y positivas.<\/p>\n
Si el primero es m\u00faltiplo de 3, el producto que multiplica los m\u00faltiplos de 3 es n\u00b7(n+3), que figura en la primera parte de la ecuaci\u00f3n, y como los otros dos han de agruparse como par por impar, tenemos n\u00b7(n + 3) + (n + 1)\u00b7(n + 4) = (n + 2)\u00b7(n + 5), que s\u00f3lo da la soluci\u00f3n positiva n = 2 (ojo: no es v\u00e1lida en este caso, pero s\u00ed lo es en el caso en que n es resto dos). Y tambi\u00e9n n\u00b7(n + 3) + (n + 1)\u00b7(n + 2) = (n + 4)\u00b7(n + 5), que nos da como \u00fanica soluci\u00f3n positiva n = 6, que s\u00ed es v\u00e1lida.<\/p>\n
Si el primero es resto 1, los m\u00faltiplos de 3 son n + 2 y n + 5, por lo que claramente tenemos la igualdad (n + 2)\u00b7(n + 5) + n\u00b7(n + 3) = (n + 1)\u00b7(n + 4), que no tiene soluciones positivas, y (n + 2)\u00b7(n + 5) + n\u00b7(n + 1) = (n + 3)\u00b7(n + 4), que tiene la soluci\u00f3n n = 1.<\/p>\n
Si el primero es resto 2, los m\u00faltiplos de 3 son n + 1 y n + 4, por lo que tenemos (n + 1)\u00b7(n + 4) + n\u00b7(n + 3) = (n + 2)\u00b7(n + 5), que es la primera ecuaci\u00f3n nuevamente (n = 2), y (n + 1)\u00b7(n + 4) + n\u00b7(n + 5) = (n + 2)\u00b7(n + 3), que no tiene soluciones enteras.<\/p>\n
Por lo tanto, las \u00fanicas soluciones v\u00e1lidas son las tres halladas:<\/p>\n
1, 2, 3, 4, 5, 6, en la que 1\u00b72 + 3\u00b76 = 4\u00b75.<\/p>\n
2, 3, 4, 5, 6, 7, en la que 3\u00b76 + 2\u00b75 = 4\u00b77.<\/p>\n
Y, por \u00faltimo, 6, 7, 8, 9, 10, 11, en la que 6\u00b79 + 7\u00b78 = 10\u00b711.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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