{"id":2382,"date":"2022-03-12T06:49:41","date_gmt":"2022-03-12T06:49:41","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2382"},"modified":"2022-03-12T06:52:48","modified_gmt":"2022-03-12T06:52:48","slug":"solucion-a-piratas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/03\/12\/solucion-a-piratas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a piratas"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el m\u00e1s joven) tiene una moneda m\u00e1s que el siguiente m\u00e1s joven.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n, cada d\u00eda se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los dem\u00e1s.<\/p>\n
Encontrar el mayor n\u00famero de monedas que un pirata puede llegar a tener.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSe puede tantear con un n\u00famero peque\u00f1o de piratas y de monedas para comprobar qu\u00e9 sucede y cu\u00e1l es la acumulaci\u00f3n m\u00e1xima que se puede producir.<\/p>\n
Lo primero que hay que tener en cuenta es qu\u00e9 nos est\u00e1 pidiendo el problema. Evidentemente, el punto de partida queda condicionado por cu\u00e1nto recibe el pirata m\u00e1s joven, ya que cada uno de los dem\u00e1s recibe una moneda m\u00e1s que el siguiente m\u00e1s joven.<\/p>\n
As\u00ed, el n\u00famero de monedas recibidas por cada uno formar\u00e1 una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de diferencia 1.<\/p>\n
Es sencillo (aunque en rigor puede que no sea totalmente necesario) encontrar si esto es o no posible, por ejemplo, relacionando 2022 con la suma de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica, o bien buscando cu\u00e1l es el reparto medio (168,5) y construyendo a partir de ah\u00ed cu\u00e1ntas monedas tiene cada uno, 163 el m\u00e1s joven y 174 el m\u00e1s viejo.<\/p>\n
A partir de ah\u00ed, hay varias maneras de proceder. En realidad, al pedirnos el mayor n\u00famero de monedas que un pirata puede obtener, se nos est\u00e1 pidiendo que obtengamos el n\u00famero mayor en un hipot\u00e9tico procedimiento de redistribuci\u00f3n a partir del momento inicial, es decir, en el caso de que ning\u00fan pirata perdiera ninguna moneda y el procedimiento se repitiera indefinidamente, en un orden arbitrario.<\/p>\n
Pensemos que hay que demostrar que el n\u00famero que digamos es alcanzable, y que no se puede alcanzar otro mayor.<\/p>\n
Es evidente que si cada uno de los piratas (excepto el mayor) reparte 11 monedas entre los dem\u00e1s, empezando por el que m\u00e1s tiene, y acabando por el que menos ten\u00eda, resultar\u00e1 que todos ellos quedan con una moneda menos, y el mayor con 11 m\u00e1s.<\/p>\n
Repitiendo el proceso hasta que todos ellos queden con menos de 11 monedas, tendremos que quedan con 0 \u2013 1 \u2013 2 \u2013 3\u2026 9 \u2013 10 monedas, y el mayor tendr\u00e1 1967 monedas. El proceso no puede continuar sin descender entonces de ese n\u00famero, as\u00ed que es posible que sea el m\u00e1ximo. Al menos, es posible alcanzarlo.<\/p>\n
Observamos que no puede darse que haya dos piratas con 0 monedas, ya que el \u00faltimo que haya repartido ha dado una moneda a todos los dem\u00e1s. Tampoco puede haber tres piratas con 1 o menos monedas, ya que requerir\u00eda que en el paso anterior hubiese dos piratas con 0 monedas. Recursivamente, si tenemos un n\u00famero p menor que 12, es imposible que haya p + 1 piratas con p o menos monedas, debido a que es necesario que en el paso anterior haya p piratas con p \u2013 1 monedas o menos monedas (con al menos 12 monedas evidentemente hay 12 piratas, y no puede haber m\u00e1s de 12). Y eso quiere decir que no puede ser que se alcance un n\u00famero mayor que el 1967 predicho.<\/p>\n
Hay un detalle que soluciona ambos procesos en un \u00fanico razonamiento, ya que si estudiamos las cantidades que tienen los piratas m\u00f3dulo 12, inicialmente est\u00e1n presentes todos los posibles restos, por ser n\u00fameros consecutivos. Cuando un pirata reparte 11 monedas, su valor m\u00f3dulo 12 aumenta en 1, mientras que al recibir una moneda, tambi\u00e9n lo hacen todos los dem\u00e1s, con lo que en cada iteraci\u00f3n siguen presentes todos los posibles valores. Por tanto, sea el proceso que sea, el mayor valor  de concentraci\u00f3n que se puede alcanzar, una vez que ninguno de los piratas pueda repartir excepto uno, ser\u00e1 el que hemos afirmado.<\/p>\n
Es interesante (aunque no sea necesario) comprobar que para que esto suceda as\u00ed, en un caso peque\u00f1o, es necesario que est\u00e9n todos los restos. Si partimos de una situaci\u00f3n que no est\u00e9n todos los restos (por ejemplo, 4 piratas y cantidades como 3, 5, 7, 9, en la que s\u00f3lo hay dos restos al dividir entre 4, la mejor concentraci\u00f3n es 0 – 2 – 2 – 20, no es alcanzable 0 – 1 – 2 \u2013 21, ya que tienen que estar presentes \u00fanicamente dos restos m\u00f3dulo 4).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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