{"id":2391,"date":"2022-03-19T07:10:42","date_gmt":"2022-03-19T07:10:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2391"},"modified":"2022-03-19T07:10:42","modified_gmt":"2022-03-19T07:10:42","slug":"solucion-a-escalera-mecanica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/03\/19\/solucion-a-escalera-mecanica\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a escalera mec\u00e1nica"},"content":{"rendered":"
Problema 6 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mec\u00e1nica que est\u00e1 en marcha.<\/p>\n
Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan m\u00e1s r\u00e1pido porque van subiendo escalones de uno en uno.<\/p>\n
Enrique sube escalones tres veces m\u00e1s r\u00e1pido que Francisca.<\/p>\n
Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1ntos escalones habr\u00edan tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en funci\u00f3n de esos dos valores)?<\/p>\n
Nota: los concursantes recib\u00edan dos valores concretos, diferentes para cada persona.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nA m\u00ed me ha resultado un ejercicio complicado, he probado varios enfoques y el que voy a explicar es el \u00fanico que me ha parecido aceptable.<\/p>\n
Ni siquiera me ha servido mi m\u00e9todo habitual de convertir en \u00e1lgebra. He tenido que improvisar m\u00e1s de la cuenta.<\/p>\n
Sabemos que la velocidad a la que sube escaleras Enrique el el triple que Francisca, as\u00ed que cuando acaba de subir Enrique, ha subido e escalones \u00e9l y el resto de escalones hasta el total de la escalera le llamamos p (que se los ha evitado subir el movimiento de la propia escalera). Por tanto, el total de escalones de la escalera ser\u00e1 e + p.<\/p>\n
Ahora, he usado una variable auxiliar que he llamado a = e\/3. Vendr\u00eda a ser la cantidad de escalones que ha subido Francisca en el momento en que Enrique llega arriba. Tenemos que 3a + p es el total de escalones de la escalera si estuviese parada, y en ese momento Francisca lleva subidos a + p.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n, resulta que Francisca sigue subiendo en la misma proporci\u00f3n los 2a escalones que le faltan.<\/p>\n
Supongamos que el tiempo que le falta es una fracci\u00f3n h del tiempo que lleva subiendo, as\u00ed tendremos que h(a + p) = 2a.<\/p>\n
De esta forma, francisca ha subido a + ha = (1 + h)a escalones, es decir f = (1 + h)a, y como sabemos que a = e\/3, tenemos que 1 + h = f\/a = 3f\/e, as\u00ed que h = (3f \u2013 e)\/e.<\/p>\n
Ahora, como tenemos que h(a + p) = 2a, deducimos que hp = 2a \u2013 ha = (2 \u2013 h)a, luego p = (2 \u2013 h)a\/h. Por tanto p = (2 \u2013 (3f \u2013 e)\/e)\u00b7e\/3\/((3f \u2013 e)\/e) = (2e \u2013 3f + e)e\/(9f – 3e) = (3e \u2013 3f)e\/(9f \u2013 3e) = (e \u2013 f)e\/(3f \u2013 e).<\/p>\n
Y el total de escalones en caso de estar parada la escalera ser\u00eda e + p = e + (e \u2013 f)e\/(3f \u2013 e) = e(1 + (e \u2013 f)\/(3f \u2013 e)) = e(2f)\/(3f \u2013 e) = 2ef\/(3f \u2013 e).<\/p>\n
Para estar seguro de que las cosas iban bien, he trasteado un poco con las f\u00f3rmulas (ha venido muy bien porque hab\u00eda cometido un serio error con el \u00e1lgebra, que ahora ya est\u00e1 corregido), probando varios valores, obteniendo, por ejemplo, el caso en que e = 12 y f = 8, en el que la escalera tiene un total de 16 escalones. En ese caso, Enrique sube 12 de los 16 escalones en el tiempo en el que la escalera apenas sube 4. En ese momento, Francisca lleva subidos 4 (y 4 la escalera en modo autom\u00e1tico). Puesto que la escalera y Francisca seguir\u00e1n subiendo al mismo ritmo, y han subido 8 de los 16 escalones, le faltan otros 8, luego subir\u00e1, efectivamente 8 ella y 8 la escalera.<\/p>\n
Otro ejemplo, e = 15 y f = 6. La escalera sale con 60 escalones. Cuando acaba de subir Enrique, la escalera le ha subido 45 escalones. Francisca lleva subidos 5 de los 50 que lleva en ese momento, s\u00f3lo le falta una peque\u00f1a fracci\u00f3n, el 20% de la escalera, as\u00ed que subir\u00e1 el 20% de los 5 que lleva, es decir, 1 m\u00e1s andando, un total de 6.<\/p>\n
En definitiva, un problema bastante complejo, pero como siempre muy interesante.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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