{"id":2399,"date":"2022-03-26T07:46:47","date_gmt":"2022-03-26T07:46:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2399"},"modified":"2022-03-26T07:48:15","modified_gmt":"2022-03-26T07:48:15","slug":"solucion-a-tres-cuadrados-en-otro-cuadrado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/03\/26\/solucion-a-tres-cuadrados-en-otro-cuadrado\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tres cuadrados en otro cuadrado"},"content":{"rendered":"
Problema 7 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sobre la diagonal de un cuadrado se sit\u00faan dos puntos que se usan para construir tres cuadrados de forma que el cuadrado central tiene la misma \u00e1rea que la suma de las otras dos.<\/p>\n
Razona con todo detalle y precisi\u00f3n cu\u00e1nto mide el \u00e1ngulo que se forma en un v\u00e9rtice del cuadrado contenedor que no est\u00e9 en la diagonal al unirlo con los dos v\u00e9rtices de la diagonal del cuadrado central.
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\nSoluci\u00f3n:
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\nSeguro que hay otras maneras, pero lo que m\u00e1s trabajamos a estos niveles es la geometr\u00eda algebraica, as\u00ed que voy a hacer depender todo de dos variables, y tratar de poner en funci\u00f3n de ellas los elementos clave del dibujo.<\/p>\n
Puesto que el tama\u00f1o del cuadrado no es relevante (si fuese m\u00e1s grande podr\u00eda escalarse la imagen), trabajaremos sin p\u00e9rdida de generalidad sobre el cuadrado de v\u00e9rtices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1).<\/p>\n
La diagonal de construcci\u00f3n, por ejemplo, ser\u00e1 la que va de (0,0) a (1,1), por lo que todo estar\u00e1 en elegir dos puntos a, b, sobre esta diagonal (a, a) y (b, b) ser\u00e1n las coordenadas de los puntos. Las primeras condiciones b\u00e1sicas en este contexto es que 0 < a < b< 1.<\/p>\n
Ahora debe darse la coincidencia de \u00e1reas, por lo que  a\u00b2 + (1 \u2013 b)\u00b2 = (b \u2013 a)\u00b2, es decir, que a\u00b2 + b\u00b2 + 1 \u2013 2b = a\u00b2 + b\u00b2 \u2013 2ab, lo que nos lleva a que 1 + 2ab \u2013 2b = 0, lo que es una condici\u00f3n que relaciona a con b. Tambi\u00e9n podemos escribirla, por si acaso, viendo que 1 = 2b \u2013 2ab = 2b(1 \u2013 a), como que en realidad b = 1\/(2(1 \u2013 a)), lo que nos puede venir bien.<\/p>\n
Se comprueba que, en efecto, para todo valor de a entre 0 y 1, se da que a\u00b2 + (1 \u2013 1\/(2(1 \u2013 a)))\u00b2 es igual que (1\/(2(1 \u2013 a))\u00b2 \u2013 a)\u00b2, sencillamente desarrollando y viendo que todos los sumandos son id\u00e9nticos. En realidad, para que la construcci\u00f3n pueda hacerse, el valor de a debe ser menor que \u00bd.<\/p>\n
Ahora, para encontrar el \u00e1ngulo que buscamos, hay varias estrategias.<\/p>\n
La de utilizar el producto escalar fue la primera en la que pens\u00e9, pero da m\u00e1s problemas por el m\u00f3dulo. Otra es trabajar con pendientes.<\/p>\n
Lo primero que necesitamos es los vectores que corresponden a unir un v\u00e9rtice (podr\u00edamos usar el (1, 0) o el (0,1), yo voy a usar el (1, 0)) con los puntos (a, a) (vector (a \u2013 1, a)) y con el punto (b, b) (vector (b \u2013 1, b)).<\/p>\n
Si razonamos por pendientes, la pendiente del primero es a\/(a \u2013 1) y la del segundo es b\/(b \u2013 1), y, puesto que la pendiente es la tangente del \u00e1ngulo con la horizontal, la tangente del \u00e1ngulo comprendido entre ambos ser\u00eda (m –  n)\/(1 + mn), en este caso la tangente ser\u00eda (a\/(a \u2013 1) \u2013 b\/(b \u2013 1))\/(1 + ab\/((a \u2013 1)(b \u2013 1))). Multiplicando por los denominadores, tendr\u00edamos (a(b \u2013 1) \u2013 b(a \u2013 1))\/ ((a \u2013 1)(b \u2013 1) + ab)) = (b \u2013 a)\/(2ab \u2013 a \u2013 b + 1).<\/p>\n
Para conocer en detalle el valor que tiene esta tangente (que, puesto que el \u00e1ngulo est\u00e1 comprendido entre 0 y 90\u00ba nos determinar\u00e1 perfectamente qu\u00e9 \u00e1ngulo es), usamos ahora que b = 1\/(2(1 \u2013 a)).<\/p>\n
Y nos queda que la tangente es (1\/(2(1 \u2013 a)) \u2013 a)\/(2a\/(2(1 \u2013 a)) \u2013 a \u2013 1\/(2(1 \u2013 a)) + 1), lo que de nuevo nos obliga a quitar denominadores multiplicando por 2(1 \u2013 a) en numerador y denominador, as\u00ed que queda la expresi\u00f3n (1 \u2013 2a(1 \u2013 a))\/(2a \u2013 2a(1 \u2013 a) \u2013 a \u2013 1 + 2(1 \u2013 a)) = (1 \u2013 2a(1 \u2013 a))\/(2a \u2013 2a(1 \u2013 a) \u2013 a \u2013 1 + 2 \u2013 2a)) = (1 \u2013 2a + 2a\u00b2)\/(1 \u2013 2a + 2a\u00b2) = 1.<\/p>\n
Luego el \u00e1ngulo no depende de a, siempre es 45\u00ba, ya que es el \u00fanico entre 0 y 45\u00ba que tiene tangente 1.<\/p>\n
Si razonamos por producto escalar, tambi\u00e9n es posible, ya que el m\u00f3dulo del primer vector ser\u00eda ra\u00edz(2a\u00b2 \u2013 2a + 1), y el del segundo, ra\u00edz(2b\u00b2 \u2013 2b + 1), y el producto escalar ser\u00eda ab + ab \u2013 a \u2013 b + 1 = 2ab \u2013 a \u2013 b + 1.<\/p>\n
Como sabemos que b depende de a, tenemos que el m\u00f3dulo seguir\u00eda siendo ra\u00edz(2a\u00b2 \u2013 2a + 1) en el primer caso, pero en el segundo ser\u00eda ra\u00edz(2\/(4(1 \u2013 a)\u00b2) \u2013 1\/(1 \u2013 a) + 1) = ra\u00edz((2 \u2013 4(1 \u2013 a) + 4(1 \u2013 a)\u00b2)\/(2(1 \u2013 a)) = ra\u00edz(4a\u00b2 \u2013 4a + 2)\/(2(1 \u2013 a)). Y el producto ser\u00eda a\/(1 \u2013 a) \u2013 a \u2013 1\/(2(1 \u2013 a)) + 1 = (2a \u2013 2a(1 \u2013 a) \u2013 1 + 2(1 \u2013 a))\/(2(1 \u2013 a)) = (2a\u00b2 + 2a + 1)\/(2(1 \u2013 a)).<\/p>\n
Para calcular entonces el coseno del \u00e1ngulo que forman (que de nuevo nos determinar\u00e1 el \u00e1ngulo entre 0 y 90\u00ba), dividiremos el producto escalar entre el producto de los m\u00f3dulos, obteniendo la expresi\u00f3n ((2a\u00b2 + 2a + 1)\/(2(1 \u2013 a)))\/(ra\u00edz(2a\u00b2 \u2013 2a + 1)ra\u00edz(4a\u00b2 \u2013 4a + 2)\/(2(1 \u2013 a))) = (2a\u00b2 + 2a + 1)\/(ra\u00edz(2a\u00b2 \u2013 2a + 1)ra\u00edz(4a\u00b2 \u2013 4a + 2)).<\/p>\n
Ahora, si tenemos en cuenta que las ra\u00edces son iguales excepto un valor 2, tenemos que ese coseno valdr\u00eda (2a\u00b2 + 2a + 1)\/((2a\u00b2 + 2a + 1)ra\u00edz(2)) = 1\/ra\u00edz(2), con lo que realmente de nuevo obtenemos que el \u00e1ngulo que forman es 45\u00ba.<\/p>\n
El proceso, en este caso, es m\u00e1s laborioso por implicar las ra\u00edces cuadradas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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