{"id":2407,"date":"2022-04-03T18:05:36","date_gmt":"2022-04-03T18:05:36","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2407"},"modified":"2022-04-03T18:05:36","modified_gmt":"2022-04-03T18:05:36","slug":"solucion-a-cuatro-circulos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/04\/03\/solucion-a-cuatro-circulos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cuatro c\u00edrculos"},"content":{"rendered":"
Problema 8 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
En una circunferencia de radio R trazamos una una circunferencia tangente a la circunferencia y al di\u00e1metro, que vemos en este caso de color rojo. Su radio ser\u00e1 r.<\/p>\n
Seguro que sabemos deducir que el radio de esta circunferencia es r = R\/2.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n trazamos una circunferencia de radio s tangente a la circunferencia de color rojo, al di\u00e1metro y a la circunferencia inicial, en el dibujo de color azul. Se pide como primer dato la relaci\u00f3n entre s y R, es decir, el valor k que cumple s = k\u00b7R.<\/p>\n
Por \u00faltimo, trazamos una circunferencia de radio t, tangente a la circunferencia de radio s anterior, al di\u00e1metro y a la circunferencia inicial, que en el dibujo vemos de color naranja. Se pide la relaci\u00f3n entre t y R, es decir, el valor h que cumple t = h\u00b7R.
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\nSoluci\u00f3n:
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\nLo primero que tenemos que hacer es construir toda la figura a tama\u00f1o fijo, es decir, escalar el radio de la circunferencia inicial para que nos salgan n\u00fameros concretos en lugar de proporcional a R. Yo voy a usar radio 1, pero si no queremos que nos salgan fracciones, podemos optar por tomar valores que nos permitan dar n\u00fameros enteros, multiplicando todos los n\u00fameros que nos vayan saliendo por un factor adecuado seg\u00fan los vayamos obteniendo.<\/p>\n
Voy a poner la circunferencia inicial centrada en el punto (0,0) y su di\u00e1metro sobre el eje x, para simplificar los c\u00e1lculos.<\/p>\n
Evidentemente el radio de la primera circunferencia es \u00bd (por ejemplo, aqu\u00ed podr\u00edamos duplicar el radio inicial, que el radio inicial sea 2 y entonces ser\u00eda 1 el de la primera circunferencia), ya que al ser tangente a la circunferencia contenedora, y pasar por el centro la otra tangente al di\u00e1metro por simetr\u00eda, se da que 2r = 1.
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\nAhora, si el centro de la segunda circunferencia tiene las coordenadas (x, s), est\u00e1 claro que s debe ser el radio para que siga siendo tangente al di\u00e1metro inicial, pero al unir el punto de tangencia con ambos radios de las circunferencias, los radios deben estar sobre la misma recta, por ser perpendiculares al punto de tangencia. As\u00ed, se forman unos vectores que podemos caracterizar por su tama\u00f1o.<\/p>\n
En efecto, (r + s)\u00b2 es la \u201chipotenusa\u201d del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que forma el segmento que une los dos centros, y los dos catetos ser\u00e1n (r \u2013 s) y x, as\u00ed que se da la relaci\u00f3n (r + s)\u00b2 = x\u00b2 + (r \u2013 s)\u00b2, con lo que 2rs = x\u00b2 \u2013 2rs, as\u00ed que x\u00b2 = 4rs = 2s (recordemos que r = \u00bd).<\/p>\n
Por otra parte, la misma relaci\u00f3n aparece como tangente entre la circunferencia contenedora y la de radio s, de forma que aqu\u00ed, el segmento que une los dos centros ser\u00e1 1 \u2013 s (la circunferencia inicial es de radio 1, si usas otro hay que cambiar esto), y la relaci\u00f3n es (1 \u2013 s)\u00b2 = x\u00b2 + s\u00b2, por lo que 1 \u2013 2s = x\u00b2.<\/p>\n
Uniendo ambas cosas, tenemos que 1 \u2013 x\u00b2 = x\u00b2, por lo que 2x\u00b2 = 1, y as\u00ed x = 1\/ra\u00edz(2). Y s = x\u00b2\/2 = \u00bc.
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\nAhora  vamos a actuar de forma similar con la tercera circunferencia. Por un lado, es tangente a la circunferencia azul (cuyo centro era (1\/ra\u00edz(2), \u00bc)), y el segmento que los une mide \u00bc + t. Suponemos que sus coordenadas son (y, t), ya que la coordenada vertical debe coincidir con el radio para que sea tangente, y tenemos que (\u00bc + t)\u00b2 = (\u00bc \u2013 t)\u00b2 + (y \u2013 1\/ra\u00edz(2))\u00b2.<\/p>\n
Quitando par\u00e9ntesis, tenemos que 1\/16 + t\/2 + t\u00b2 = 1\/16 \u2013 t\/2 + t\u00b2 + y\u00b2 \u2013 2y\/ra\u00edz(2) +1\/2. Si eliminamos los t\u00e9rminos iguales, esta relaci\u00f3n es equivalente a t \u2013 \u00bd = y\u00b2 \u2013 2y\/ra\u00edz(2).<\/p>\n
La otra relaci\u00f3n de tangencia se comporta de manera similar a la de la segunda circunferencia, 1 \u2013 t es la longitud de la l\u00ednea que une los centros, as\u00ed que (1 \u2013 t)\u00b2 = y\u00b2 + t\u00b2, por lo que 1 \u2013 2t = y\u00b2.<\/p>\n
Uniendo ambas ecuaciones, tenemos que t = y\u00b2 \u2013 2y\/ra\u00edz(2) + \u00bd, por lo que 1 \u2013 2t = 1 \u2013 2y\u00b2 + 4y\/ra\u00edz(2) \u2013 1 = y\u00b2, es decir, que 4y\/ra\u00edz(2) \u2013 3y\u00b2 = 0. como conclusi\u00f3n, ya que y no vale 0, es que y = 4\/(3ra\u00edz(2)).<\/p>\n
Como lo que nos piden es t, resulta que 1 \u2013 2t = 16\/18, por lo que 1 \u2013 16\/18 = 2t, y entonces t = 1\/18.
\n\"\"
\nPuesto que hemos iniciado todo con el supuesto de que R = 1, hay que responder que k vale \u00bc y h vale 1\/18.
\nAhora, que sabemos lo que da, para rehacer el trabajo sin que salgan (muchas) fracciones, podr\u00edamos haber empezado con un radio 36 = 9\u00b74, que es m\u00faltiplo de ambos radios. Con eso, probablemente quedar\u00eda m\u00e1s limpio.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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