{"id":2416,"date":"2022-04-10T06:46:52","date_gmt":"2022-04-10T06:46:52","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2416"},"modified":"2022-04-10T06:46:52","modified_gmt":"2022-04-10T06:46:52","slug":"solucion-a-el-pedido-caprichoso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/04\/10\/solucion-a-el-pedido-caprichoso\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el pedido caprichoso"},"content":{"rendered":"
Problema 9 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Un fabricante de tres productos, cuyos precios unitarios son P1, P2 y P3.<\/p>\n
Recibe un pedido de Q unidades en total de un detallista, que le transfiere un pago de T euros, que debe satisfacerse exactamente.<\/p>\n
El detallista pone la condici\u00f3n de que le env\u00ede el m\u00e1ximo posible del producto m\u00e1s caro (supongamos que es P3), y el resto de los otros productos, de manera que haya al menos uno de cada tipo.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1ntos tiene que enviar de cada tipo para satisfacer el pedido?<\/p>\n
(Para fijar los valores con los que se ha de explorar en la b\u00fasqueda de la soluci\u00f3n, soluciona el problema con los valores P1 = 30, P2 = 45, P3 = 50, Q = 60 y T = 2930 y luego generaliza)
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEs un problema dif\u00edcil de manejar, por el n\u00famero de variables, sin un experimento previo.<\/p>\n
Supongamos que tenemos los datos que vienen en el ejemplo: los precios de los productos ser\u00edan 30 , 45 y 50 por unidad. Nos piden 60 productos en total, con preferencia por productos delos que cuestan 50\u20ac, y nos ingresan 2930 que debe coincidir con el pago.<\/p>\n
Las ecuaciones que se deben cumplir ser\u00edan x + y + z = 60, y la ecuaci\u00f3n 30x + 45y + 50z = 2930, pero z debe ser lo m\u00e1s grande posible y tanto x como y deben ser mayores o iguales que 1.<\/p>\n
Despejando z, que debe ser lo mayor posible, en la primera ecuaci\u00f3n, tendremos que z = 60 \u2013 x \u2013 y, y sustituyendo en la segunda, tendr\u00edamos que  30x + 45y + 50(60 \u2013 x \u2013 y) = 2930, por lo que 30x + 45y + 3000 \u2013 50x \u2013 50y = 2930.<\/p>\n
Esta \u00fanica ecuaci\u00f3n con dos variables se puede expresar como 70 = 20x + 5y, y puesto que ambos deben ser mayores que 1, podemos descontar 1 producto de cada, teniendo que 45 = 20(x \u2013 1) + 5(y \u2013 1), que deben dar valores enteros no negativos. Est\u00e1 claro que hay tres \u00fanicas soluciones: x \u2013 1 = 0, y \u2013 1 = 9, lo que hace que x = 1, y = 10, z = 49, (x \u2013 1) = 1, y \u2013 1 = 5, con lo que x = 2, y = 6, z = 52, y la opci\u00f3n mejor, que es x \u2013 1 = 2, y \u2013 1 = 1, lo que hace que x = 3, y = 2, z = 55.<\/p>\n
Es decir, que puesto que el coeficiente de x es el mayor, debemos tomar el mayor x \u2013 1 posible, siempre que y \u2013 1 sea entero no negativo, para que z sea lo mayor posible.<\/p>\n
\u00bfC\u00f3mo se plantear\u00eda en general?<\/p>\n
Las ecuaciones primeras pasar\u00edan a ser la ecuaci\u00f3n x + y + z = Q, y la ecuaci\u00f3n P1x + P2y + P3z = T, y de nuevo har\u00edamos que z = Q \u2013 x \u2013 y, de donde sustituyendo en la otra ecuaci\u00f3n tendr\u00edamos que P3\u00b7Q \u2013 T = (P3 \u2013 P1)\u00b7x + (P2 \u2013 P3)\u00b7y, donde el n\u00famero P3\u00b7Q \u2013 T siempre es positivo, ya que se supone que nos han ingresado (T) menos dinero del valor de compra de Q objetos de precio P3, ya que en ese caso no se podr\u00eda satisfacer el pedido.<\/p>\n
Se observa que tambi\u00e9n los coeficientes P3 \u2013 P1 y P2 \u2013 P1 son positivos, y si la igualdad dada no tiene soluci\u00f3n entera estrictamente positiva, no se pueden cumplir todas las restricciones.<\/p>\n
De todas las posibles soluciones, optamos por la de mayor valor de x, ya que reduciremos la suma total de x + y, y aumentaremos todo lo posible la variable z.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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