{"id":2424,"date":"2022-04-16T07:46:44","date_gmt":"2022-04-16T07:46:44","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2424"},"modified":"2022-04-16T07:46:44","modified_gmt":"2022-04-16T07:46:44","slug":"solucion-a-la-fila-de-2022-personas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/04\/16\/solucion-a-la-fila-de-2022-personas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a la fila de 2022 personas"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes tarde)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En una fila hay 2022 personas.<\/p>\n<p>Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.<\/p>\n<p>Todos ellos afirman \u201cHay m\u00e1s mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha\u201d.<\/p>\n<p>Determinar cu\u00e1ntos mentirosos hay en la fila.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2421\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/04\/242.Fila2022.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/04\/242.Fila2022.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/04\/242.Fila2022-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEs un problema que se modela muy bien con una fila par de personas.<\/p>\n<p>Si, por ejemplo, usamos 4 personas, tendr\u00edamos dos mentirosos, y dos personas que dicen la verdad, ya que el primero (que no tiene nadie a su izquierda) necesariamente miente, mientras que el primero por la derecha, por tanto, dice la verdad.<\/p>\n<p>De nuevo, el segundo por la izquierda necesariamente miente, pues tiene al menos un mentiroso a la izquierda, mientras que al menos tiene una persona que dice la verdad a su derecha, y por tanto, la segunda por la derecha dice la verdad.<br \/>\nRazonando de la misma forma con 2022 personas, tenemos que habr\u00e1 1011 mentirosos, todos ellos situados a la izquierda, mientras que habr\u00e1 1011 personas a la derecha que digan la verdad.<\/p>\n<p>Es importante que se justifique debidamente, habiendo varios razonamientos que son suficientes.<\/p>\n<p>Por ejemplo, podemos pensar en inducci\u00f3n, ya que repitiendo exactamente el mismo razonamiento las dos personas m\u00e1s a la derecha y las dos m\u00e1s a la izquierda se comportan de forma id\u00e9ntica a cuando ten\u00edamos 4. Si suponemos que las n personas a la izquierda mienten, y las n personas m\u00e1s a la derecha dicen la verdad, la persona n + 1, con n &lt; 1011, a la izquierda tiene exactamente n personas que mienten a su izquierda y al menos n personas que dicen la verdad a su derecha, con lo que no puede decir la verdad, mientras que la persona n + 1 a la derecha dice necesariamente la verdad, ya que tiene n +1 (al menos ) mentirosos a su izquierda y exactamente n personas que dicen la verdad a su derecha.<\/p>\n<p>Por tanto, al llegar a 1011 mentirosos y 1011 personas que dicen la verdad tendremos identificados a toda la fila.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os En una fila hay 2022 personas. Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad. 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