{"id":2430,"date":"2022-04-23T19:50:35","date_gmt":"2022-04-23T19:50:35","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2430"},"modified":"2022-04-23T19:50:35","modified_gmt":"2022-04-23T19:50:35","slug":"solucion-a-un-punto-en-el-cuadrilatero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/04\/23\/solucion-a-un-punto-en-el-cuadrilatero\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un punto en el cuadril\u00e1tero"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes tarde)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea ABCD un cuadril\u00e1tero convexo, y sea P un punto en su interior.<\/p>\n
Si se cumple que \u00e1rea(PAB)\u00b7\u00e1rea(PCD) = \u00e1rea(PBC)\u00b7\u00e1rea(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o en el segmento BD.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEste problema me ha tenido ocupado bastante tiempo para prepararlo en condiciones. Pondr\u00e9 dos soluciones, una basada en conocimientos geom\u00e9tricos b\u00e1sicos, y otra usando coordenadas, junto con una peque\u00f1a explicaci\u00f3n de c\u00f3mo preparo yo algunas de las deducciones en este campo.<\/p>\n
La idea base en ambos casos es ver que, si suponemos que P no cumple las condiciones de estar en uno de los dos segmentos de las diagonales, entonces la igualdad de \u00e1reas no se puede alcanzar o tiene consecuencias imposibles (reducci\u00f3n al absurdo).<\/p>\n
Partiendo de conocimientos b\u00e1sicos en geometr\u00eda, vemos que las \u00e1reas de los tri\u00e1ngulos no pueden expresarse de una forma com\u00fan tal y como est\u00e1n en la igualdad inicial, debido a que los dos pares de tri\u00e1ngulos cuyas \u00e1reas se multiplican no tienen nada en com\u00fan. Para poder empezar a trabajar, vemos que hace falta expresar la igualdad de otra forma equivalente, por ejemplo como \u00e1rea(PAB)\/\u00e1rea(PDA) = \u00e1rea(PBC)\/\u00e1rea(PDC).<\/p>\n
Una vez visto as\u00ed, ya tenemos un lado en com\u00fan (en ambos casos), as\u00ed que expresamos el \u00e1rea de PAB como PA\u00b7h1\/2, y el \u00e1rea de PDA como PA\u00b7h2\/2. La expresi\u00f3n \u00e1rea(PAB)\/\u00e1rea(PDA) es equivalente, puesto que PA y 2 se simplifican, a h1\/h2 (ver dibujo).
\n\"\"
\nEstos dos segmentos (alturas), si los unimos con la diagonal BD, forman junto con \u00e9sta y la prolongaci\u00f3n de PA dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos semejantes, ya que h1 y h2 son paralelos, y por tanto los segmentos en los que PA o su prolongaci\u00f3n corta a la diagonal tambi\u00e9n guardan la misma proporci\u00f3n. Llamemos E al punto en que PA o su prolongaci\u00f3n corta a la diagonal.<\/p>\n
Tenemos que EB\/ED es entonces igual al cociente \u00e1rea(PAB)\/\u00e1rea(PDA) inicial.<\/p>\n
Puesto que P no pertenece a la diagonal AC, el segmento PC no es paralelo a PA, por lo que las alturas h3 y h4, de los tri\u00e1ngulos PBC y PDC sobre el lado PC no son paralelos, pese a que su proporci\u00f3n es la misma seg\u00fan la igualdad inicial. Adem\u00e1s, puesto que P no pertenece tampoco al segmento BD, el segmento PC (o su prolongaci\u00f3n) corta a BD en otro punto diferente de E, llam\u00e9mosle F. Sin embargo, FB\/FD debe valer lo mismo que EB\/ED, cosa imposible, ya que el cociente XB\/XD es estrictamente creciente para los puntos X desde B a D.
\n\"\"
\nHemos llegado al absurdo.<\/p>\n
Veamos el otro m\u00e9todo, exclusivamente algebraico.<\/p>\n
Si queremos calcular un \u00e1rea en funci\u00f3n de sus coordenadas, necesitamos un m\u00e9todo eficaz y r\u00e1pido. Imaginemos que tenemos tres puntos A(a,b), B(c,d) y C(e,f). Para calcular el \u00e1rea podr\u00edamos multiplicar la base AB por la mitad de la altura a la base desde C, pero para calcular la altura debemos hacer uso de la perpendicular.<\/p>\n
Vayamos por partes. El vector AB ser\u00eda (c \u2013 a, d \u2013 b). Un vector perpendicular podr\u00eda ser n (b \u2013 d, c \u2013 a) (observamos que hemos invertido la posici\u00f3n de las dos componentes, y una de ellas se ha cambiado de signo, y encontrar la altura significa multiplicar escalarmente uno de los dos vectores AC o BC (da lo mismo cu\u00e1l) por n y dividirlo por el m\u00f3dulo de n. Este producto dar\u00eda (e \u2013 a, f \u2013 b)\u00b7(b \u2013 d, c \u2013 a)\/mod(n) = (eb \u2013 de \u2013 ab + ad + fc \u2013 af \u2013 bc + ba)\/mod(n) = (eb \u2013 de + ad + fc \u2013 af \u2013 bc)\/mod(n). Pero como n y la base tienen el mismo tama\u00f1o, al multiplicar para calcular el \u00e1rea se simplifcar\u00eda, quedando \u00c1rea ABC = (eb + ad + fc \u2013 af \u2013 bc \u2013 de)\/2.<\/p>\n
Puesto que es dif\u00edcil precisar si el producto va a salir positivo o negativo, hablando en propiedad deber\u00edamos tomarla en valor absoluto. Pero el signo sale igual en todos los tri\u00e1ngulos si tomamos los v\u00e9rtices en el mismo sentido (horario o antihorario) y en nuestro problema da lo mismo.<\/p>\n
Si uno se fija, podemos calcular el \u00e1rea con las coordenadas, sumando todos los productos entre la primera coordenada de cada v\u00e9rtice y la segunda de su v\u00e9rtice siguiente en sentido antihorario, y restando los productos de la primera coordenada de cada v\u00e9rtice y la segunda de su v\u00e9rtice siguiente en sentido horario. Evidentemente, al final, hay que dividir por 2.<\/p>\n
Por ejemplo, el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo (1,2) (4,0) (2, 3) ser\u00eda (0 + 12 + 4 \u2013 3 \u2013 8 \u2013 0) = 5\/2.<\/p>\n
Ahora, puesto que nos interesa si el punto P est\u00e1 o no en las diagonales, uno de los ejes voy a situarlo en la diagonal.<\/p>\n
As\u00ed, por ejemplo, tenemos que A(0, 0), B(a, b), C(t, 0), D(c,d) y P(x, y). Dadas las condiciones del enunciado, sabemos que t es un n\u00famero mayor que cero y que y tambi\u00e9n es distinto de cero (porque si no, P estar\u00eda en la diagonal).<\/p>\n
El \u00e1rea APB ser\u00eda xb \u2013 ay, mientras que el \u00e1rea CPD ser\u00eda xd + ty \u2013 td \u2013 cy.<\/p>\n
El \u00e1rea APD ser\u00eda cy \u2013 xd, mientras que el \u00e1rea BPC ser\u00eda tb + ay \u2013 xb \u2013 ty.<\/p>\n
El primer producto, por tanto, ser\u00eda x\u00b2bd + xybt \u2013 xbdt \u2013 xybc \u2013 xyad \u2013 y\u00b2at + yadt + y\u00b2ac.<\/p>\n
El segundo producto ser\u00eda ybct + y\u00b2ac \u2013 xybc \u2013 y\u00b2ct \u2013 xbdt \u2013 xyad + x\u00b2bd + xydt.<\/p>\n
Si hacemos la igualdad x\u00b2bd + xybt \u2013 xbdt \u2013 xybc \u2013 xyad \u2013 y\u00b2at + yadt + y\u00b2ac = ybct + y\u00b2ac \u2013 xybc \u2013 y\u00b2ct \u2013 xbdt \u2013 xyad + x\u00b2bd + xydt, vemos que muchos t\u00e9rminos se pueden simplificar, quedando equivalente a  xybt \u2013 y\u00b2at + yadt = ybct \u2013 y\u00b2ct + xydt.<\/p>\n
Puesto que sabemos que t no vale 0, y que y tampoco vale 0, y observamos que todos los t\u00e9rminos llevan un factor t y un factor y, podemos eliminarlos, quedando la expresi\u00f3n xb \u2013 ya + ad = bc \u2013 yc + xd.<\/p>\n
Pero sabemos que esa expresi\u00f3n es equivalente a  xb \u2013 ya + ad \u2013 bc + yc \u2013 xd = 0. Sorprendentemente, esa expresi\u00f3n, que tiene seis t\u00e9rminos, podemos comprobar que es la forma de calcular el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo BPD, y si vale cero, el significado que tiene es que el punto est\u00e1 alineado con B y con D, lo que es contrario a la hip\u00f3tesis inicial.<\/p>\n
Con lo que est\u00e1 demostrado el enunciado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea ABCD un cuadril\u00e1tero convexo, y sea P un punto en su interior. Si se cumple que \u00e1rea(PAB)\u00b7\u00e1rea(PCD) = \u00e1rea(PBC)\u00b7\u00e1rea(PDA), demostrar que el punto P se encuentra en el segmento AC o […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2430","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2430","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2430"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2430\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2433,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2430\/revisions\/2433"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2430"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2430"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2430"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}