{"id":2438,"date":"2022-05-01T06:58:38","date_gmt":"2022-05-01T06:58:38","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2438"},"modified":"2022-05-01T06:59:00","modified_gmt":"2022-05-01T06:59:00","slug":"solucion-a-13-puntos-en-una-estrella","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/05\/01\/solucion-a-13-puntos-en-una-estrella\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a 13 puntos en una estrella"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la Fase Nacional de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
La estrella de seis puntas de la figura es regular: todos los \u00e1ngulos interiores de los tri\u00e1ngulos son iguales.<\/p>\n
A cada uno de los trece puntos se\u00f1alados se le asigna un color: verde o rojo.<\/p>\n
Demuestra que siempre habr\u00e1 tres puntos del mismo color que son v\u00e9rtices de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero.<\/p>\n
(No estaba en el enunciado, pero se entiende que el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero del que son v\u00e9rtices puede no estar trazado en las l\u00edneas de la figura dibujada.)
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\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLa clave de este problema es tratar de razonar ordenadamente todos los casos. Suponer que existe una combinaci\u00f3n de colores que no cumple el enunciado y llegar a una contradicci\u00f3n.<\/p>\n
Hay varios razonamientos posibles, por ejemplo, empezando por el centro de la estrella, lo suponemos de uno de los dos colores (evidentemente, no se pierde generalidad, en caso de serlo del otro, bastar\u00eda invertir el razonamiento). Si hay en los 6 puntos que forman el hex\u00e1gono que rodea a este punto central dos v\u00e9rtices consecutivos de ese mismo color, evidentemente forman un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con el central.<\/p>\n
Por tanto, no puede ser que los 6 puntos sean del mismo color que el centro.<\/p>\n
Tampoco pueden ser 5 de ellos ni 4 del mismo color que el centro, puesto que necesariamente habr\u00eda dos puntos consecutivos.<\/p>\n
Si fuesen 3 del mismo color que el centro, los otros 3 deber\u00edan ser del otro, y estar\u00edan colocados alternativamente para evitar que hubiese dos consecutivos, pero uniendo tres puntos de uno u otro color se formar\u00eda un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con tres v\u00e9rtices del mismo color.
\n\"\"
\nTampoco puede ser s\u00f3lo 1 o ninguno del mismo color que el centro, ya que entonces se podr\u00eda unir los v\u00e9rtices del otro color de la misma forma que hicimos cuando hab\u00eda tres de un color y 3 de otro alternativo.<\/p>\n
El caso m\u00e1s complejo es aquel en el que hay 2 v\u00e9rtices del mismo color que el centro, y 4 del color opuesto. Evidentemente, los del mismo color no pueden ser consecutivos, con lo que puede haber s\u00f3lo dos situaciones diferentes: en la primera, si entre ambos hay un \u00fanico v\u00e9rtice de color distinto, se puede unir de la misma forma que en el caso 3 y 3, y en la segunda hay dos v\u00e9rtices entre ambos del mismo color que el centro, de forma sim\u00e9trica. Trataremos este caso de una forma m\u00e1s detallada, porque es el m\u00e1s complejo y el \u00fanico que queda.<\/p>\n
En ese caso especial el hex\u00e1gono central de la estrella aparecen dos v\u00e9rtices opuestos del mismo color que el centro y los otros cuatro de color contrario. Es evidente que entre los puntos citados hasta ahora no hay un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con los v\u00e9rtices del mismo color. Consideremos una de las puntas de la estrella, una de las dos que est\u00e9 unida a los v\u00e9rtices de color contrario al centro. No puede ser del mismo color que ellos (distinto del centro), ya que formar\u00eda un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con ellos, pero tampoco del color del centro, ya que formar\u00eda un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con los dos v\u00e9rtices del hex\u00e1gono que son del mismo color (el centro pertenecer\u00eda a uno de los lados del tri\u00e1ngulo).
\n\"\"
\nPor lo tanto, en cualquier coloreado existe al menos un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. De hecho, en realidad podr\u00edamos hacer la misma demostraci\u00f3n con 3 puntos menos, eligiendo cuidadosamente los puntos a eliminar (hay dos formas diferentes, una de ellas triangular).
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