{"id":2455,"date":"2022-05-14T06:24:16","date_gmt":"2022-05-14T06:24:16","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2455"},"modified":"2022-06-12T19:37:17","modified_gmt":"2022-06-12T19:37:17","slug":"solucion-a-unos-polinomios-muy-especiales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/05\/14\/solucion-a-unos-polinomios-muy-especiales\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a unos polinomios muy especiales"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes tarde)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + y) para cualquier terna de n\u00fameros reales x, y, z.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2452\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/05\/246.polinomios.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/05\/246.polinomios.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/05\/246.polinomios-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEn este caso, yo empezar\u00eda por trabajar con polinomios de grado bajo para ver qu\u00e9 sucede.<\/p>\n<p>Si probamos con polinomios de grado 1, de la forma p(x) = ax + b, en seguida nos damos cuenta de que para cualquier terna (x, y, z) de n\u00fameros reales, tendr\u00edamos que ax + ay + az + ax + ay + az + 4b = ax + ay + ay + az + az + ax + 3b, con lo que b = 0, pero no se aprecia ninguna restricci\u00f3n sobre la pendiente a.<\/p>\n<p>Es sencillo comprobar que los polinomios de la forma p(x) = ax cumplen la relaci\u00f3n sea cual sea el valor de a (incluso a = 0). Y ning\u00fan polinomio de grado 0, excepto el polinomio 0 la cumple.<\/p>\n<p>Es m\u00e1s, cualquier polinomio que cumpla la relaci\u00f3n, va a tener un t\u00e9rmino independiente nulo (ya que si ponemos x = y = z = 0, tendr\u00edamos que 4p(0) = 3p(0), por lo que p(0) = 0.<\/p>\n<p>Por el tipo de relaci\u00f3n que tenemos, es sencillo ver que si dos polinomios p y q cumplen la condici\u00f3n, tambi\u00e9n la cumple cualquier combinaci\u00f3n lineal de ambos de la forma s\u00b7p(x) + t\u00b7q(x), ya que s\u00f3lo depende de unas sumas.<\/p>\n<p>Por lo tanto, si un polinomio de segundo grado cumple la condici\u00f3n, podremos plantearnos los polinomios de la forma p(x) = x\u00b2 exclusivamente y ver si cumplen la condici\u00f3n o no.<\/p>\n<p>De esta forma, vemos que en efecto este polinomio cumple la condici\u00f3n, ya que x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 + x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 + 2xy + 2xz + 2yz = x\u00b2 + y\u00b2 + 2xy + y\u00b2 + z\u00b2 + 2yz + z\u00b2 + x\u00b2 + 2xz. Si no conoces la forma de desarrollar (x + y + z)\u00b2, es suficiente multiplicar (x + y + z) por esa misma expresi\u00f3n, y ver\u00e1s que coincide con lo que he puesto.<\/p>\n<p>De momento, por tanto, podemos apreciar que los polinomios de la forma ax\u00b2 + bx cumplen esa condici\u00f3n. Sin embargo, veremos que grados mayores es imposible que la cumplan, y la explicaci\u00f3n de por qu\u00e9 sucede no es tan sencilla.<\/p>\n<p>Probar que x\u00b3 no lo cumple (y que por lo tanto no hay ning\u00fan polinomio de tercer grado que lo cumpla) es relativamente complicado si lo hacemos en funci\u00f3n de valores generales x, y, z, y el motivo es que, mientras en el primer extremo de la igualdad aparece un producto de la forma (x + y + z)\u00b3, que origina varios t\u00e9rminos de la forma xyz, que tendr\u00e1n factores con las tres variables, mientras que en el segundo extremo no aparece ning\u00fan elemento de este tipo.<\/p>\n<p>Sin embargo, es dif\u00edcil llevar esta propiedad a una de car\u00e1cter general, salvo que usemos inducci\u00f3n sobre el grado m\u00e1ximo, y, a\u00fan as\u00ed, no ser\u00eda sencillo.<\/p>\n<p>Sin embargo, usar un valor espec\u00edfico para x, y, z puede darnos una idea.<\/p>\n<p>Supongamos que tenemos un polinomio de la forma a<sub>n<\/sub>x<sup>n<\/sup> + a<sub>n \u2013 1<\/sub>x<sup>n \u2013 1<\/sup> + \u2026 + a<sub>0<\/sub> que cumple la propiedad, y tomemos x = x, y = x y z = -x. La propiedad por tanto pasar\u00eda a ser 2p(x) + p(-x) + p(x) = p(0) + p(0) + p(2x), y, puesto que p(0) = 0, seg\u00fan hemos visto, 3p(x) + p(-x) = p(2x).<\/p>\n<p>Supongamos que hay un polinomio de grado mayor que 2 que cumple la relaci\u00f3n. Observamos que en el lado izquierdo de la igualdad tendr\u00edamos el coeficiente a<sub>n<\/sub> multiplicado a x<sup>n<\/sup> por 3 + 1 (o por 3 \u2013 1 si n fuese impar), mientras que en lado derecho tendr\u00edamos el coeficiente a<sub>n<\/sub> multiplicado por 2<sup>n<\/sup>. Si restamos ambas desigualdades, obtenemos un polinomio igualado a cero para todos los valores de x, con lo que es un polinomio con todos sus coeficientes nulos. Eso implica que 3 + 1 = 2<sup>n<\/sup> para los valores pares (cosa que s\u00f3lo sucede en el caso de n = 2), y 3 \u2013 1 = 2<sup>n<\/sup> para los t\u00e9rminos de grado impar, lo que implica que n = 1. Eso nos lleva a un absurdo, ya que hemos supuesto que el grado era mayor que 2.<\/p>\n<p>Por lo tanto, los \u00fanicos polinomios que cumplen esa condici\u00f3n son los de la forma ax\u00b2 + bx.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2022 (viernes tarde) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Encuentra todos los polinomios p(x) con coeficientes reales tales que p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(x + [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2455","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2455","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2455"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2455\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2512,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2455\/revisions\/2512"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2455"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2455"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2455"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}