{"id":2463,"date":"2022-05-15T10:04:05","date_gmt":"2022-05-15T10:04:05","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2463"},"modified":"2022-05-15T10:06:52","modified_gmt":"2022-05-15T10:06:52","slug":"geometria-fractal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/05\/15\/geometria-fractal\/","title":{"rendered":"Geometr\u00eda fractal y multifractal"},"content":{"rendered":"
La teor\u00eda de los objetos fractales constituye el contexto matem\u00e1tico id\u00f3neo para el estudio y representaci\u00f3n de ciertos fen\u00f3menos naturales asociados a formas o estructuras sumamente irregulares. Un mayor n\u00famero de aplicaciones surge cuando se maneja el concepto te\u00f3rico de multifractalidad, cuya teor\u00eda asociada puede ser considerada como una generalizaci\u00f3n del estudio base de los objetos fractales.<\/pre>\n
El uso cotidiano de la palabra fractal<\/strong> suele estar vinculado a un objeto geom\u00e9trico cuya estructura b\u00e1sica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (algo as\u00ed como objetos geom\u00e9tricos sobre los que se puede divisar que sus partes tienen misma o similar estructura que el todo). Aunque varias de las ideas involucradas en lo que hoy conocemos como teor\u00eda de los objetos fractales eran conocidas mucho antes, el t\u00e9rmino fractal (procedente del vocablo latino fractus<\/em> que se traduce como quebrado o fragmentado) fue propuesto en 1975 por el matem\u00e1tico Beno\u00eet Mandelbrot (1924-2010), considerado el principal responsable del auge de la geometr\u00eda fractal.<\/p>\n
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Beno\u00eet Mandelbrot<\/b> (1924-2010)<\/p>\n
En contraposici\u00f3n con la geometr\u00eda cl\u00e1sica de Euclides (la que se estudia desde las primeras etapas escolares y est\u00e1 basada en puntos, rectas y planos que pueden describirse y manipularse mediante expresiones matem\u00e1ticas sencillas), la geometr\u00eda fractal proporciona un marco general para el estudio formal de este tipo de objetos geom\u00e9tricos irregulares cuya construcci\u00f3n y desarrollo te\u00f3rico nos sumerge en el mundo matem\u00e1tico de los procesos infinitos. De hecho, las ampliaciones sucesivas en fragmentos concretos de estos objetos geom\u00e9tricos tipo fractal no nos conducen necesariamente a visualizar \u00fanicamente un trazo rectil\u00edneo. M\u00e1s bien, cada zoom o ampliaci\u00f3n realizada nos puede proporcionar una gr\u00e1fica similar a la global (algo as\u00ed como copias m\u00e1s peque\u00f1as de la propia figura inicial), lo que se relaciona directamente con la propiedad llamada de autosemejanza que conduce ciertamente a una colecci\u00f3n particular de fractales (los fractales autosemejantes).<\/p>\n
Esta propiedad de autosemejanza, concebida como la invariabilidad en la forma o estructura del objeto independientemente de la escala empleada (y que se puede definir matem\u00e1ticamente de una forma exquisita a trav\u00e9s de transformaciones de semejanza contractivas), la podemos percibir en la naturaleza de forma intuitiva o aproximada en el caso de que, por ejemplo, nos detengamos a observar con atenci\u00f3n la estructura de algunas clases de plantas o \u00e1rboles (por ejemplo, en una cabeza de coliflor y en algunas clases de helechos en los que cualquier hoja parece una r\u00e9plica de la figura completa) o el contorno de algunas nubes (lo que en la lejan\u00eda se percibe como una \u00fanica nube, visto de m\u00e1s cerca pueden aparecer fragmentos m\u00e1s peque\u00f1os que se repiten a diferentes escalas). En varias ocasiones la literatura tambi\u00e9n se refiere a este tipo de ejemplos como fractales naturales en el sentido de que la propiedad de autosemejanza servir\u00eda \u00fanicamente para dar una idea aproximada de la estructura de estos objetos reales o fen\u00f3menos naturales.<\/p>\n
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Estructura fractal del Romanescu y el adianto negro (helecho com\u00fan en zonas lluviosas).<\/p>\n
Un ejemplo representativo de fractal matem\u00e1tico se debe al cient\u00edfico polaco Wac\u0142aw Franciszek Sierpi\u0144ski (1882-1969) que ide\u00f3 su construcci\u00f3n en 1915. Mostraremos a continuaci\u00f3n c\u00f3mo dise\u00f1ar este objeto geom\u00e9trico, muy atractivo a nivel visual. Dado un tri\u00e1ngulo s\u00f3lido cualquiera, unamos primeramente los puntos medios de cada uno de sus tres lados, lo que generar\u00e1 cuatro tri\u00e1ngulos interiores al tri\u00e1ngulo inicial (todos del mismo tama\u00f1o). A continuaci\u00f3n, eliminemos el tri\u00e1ngulo central (su interior) y reproduzcamos el mismo proceso con cada uno de los otros tres tri\u00e1ngulos resultantes. Si repetimos este procedimiento geom\u00e9trico de forma indefinida, obtendremos una secuencia de objetos o conjuntos que, desde un punto de visto topol\u00f3gico, son cerrados, acotados y no vac\u00edos. As\u00ed, los puntos que permanecen al l\u00edmite, es decir, la intersecci\u00f3n (infinita) de los conjuntos generados por todas las iteraciones, son los que forman el llamado tri\u00e1ngulo de Sierpinski<\/a>.<\/p>\n
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Aproximaci\u00f3n al tri\u00e1ngulo de Sierpinski<\/p>\n
A partir de un tri\u00e1ngulo en el plano (de dimensi\u00f3n usual o topol\u00f3gica igual a 2, ya que podemos calcular f\u00e1cilmente su \u00e1rea), hemos visto que para generar el tri\u00e1ngulo de Sierpinski<\/a> se van extrayendo triangulitos cada vez m\u00e1s peque\u00f1os y finalmente, en el l\u00edmite, se obtiene un objeto geom\u00e9trico que es algo menos que una superficie. De hecho, no es muy complicado apreciar que el \u00e1rea de la figura resultante en cada iteraci\u00f3n tiende a 0, pero el per\u00edmetro de la figura resultante o la suma de la longitud de los lados que forman las sucesivas figuras geom\u00e9tricas que se generan en cada etapa tiende a infinito. En general, esto hace que no sea descabellada la idea de asociar una dimensi\u00f3n no entera a un objeto fractal a caballo entre la l\u00ednea y la superficie (para recoger eficazmente tanto su grado de irregularidad y fragmentaci\u00f3n, como su eficacia para ocupar o llenar un espacio o conjunto, reflejando propiedades de escalado y autosemejanza). En el caso del tri\u00e1ngulo de Sierpinski, la dimensi\u00f3n (de autosemejanza) asociada es de log 3\/log 2<\/em>.<\/p>\n
Es importante notar que la forma de obtener ese valor no es casual. Si troceamos en partes iguales cada uno de los lados de la figura inicial, ciertamente su dimensi\u00f3n de autosemejanza se calcula como el valor d<\/em> que satisface la igualdad s^d=N<\/em>, donde N<\/em> es el n\u00famero de partes obtenidas y s<\/em> es el n\u00famero de divisiones en cada lado (equivalentemente, por las propiedades del logaritmo, obtenemos d=log N\/log s<\/em> o d=-log N\/log r<\/em>, donde r=1\/s<\/em> ser\u00eda el factor de escala utilizado). Por ejemplo, si tomamos un cuadrado, que se puede contemplar como uni\u00f3n de cuatro cuadraditos iguales con longitud de lado la mitad del inicial (por tanto, 2 divisiones del lado), este valor d<\/em> satisface 2^d=4<\/em>, esto es, d=2<\/em>, que es coherente con la dimensi\u00f3n usual o topol\u00f3gica del cuadrado. En el caso del tri\u00e1ngulo de Sierpinski, tenemos que s=2<\/em> y N=3<\/em>, lo que nos da justamente el valor d=log 3\/log 2<\/em>.<\/p>\n
Son muchas las variantes y extensiones existentes del tri\u00e1ngulo de Sierpinski. Por ejemplo, en el caso tridimensional (en el espacio) un proceso an\u00e1logo de construcci\u00f3n se puede implementar a partir del uso de tetraedros (pir\u00e1mides triangulares), lo que conducir\u00eda al llamado tetraedro de Sierpinski, o incluso con pir\u00e1mides de base rectangular.<\/p>\n
M\u00e1s all\u00e1 de este tipo de estructuras geom\u00e9tricas recursivas, y desde un punto de vista estrictamente matem\u00e1tico o formal, la existencia de fractales autosemejantes en el mundo real no es plausible. En efecto, tal como ocurre en los candidatos naturales mencionados con anterioridad, no se perciben copias reducidas del objeto inicial que sean totalmente exactas y, adem\u00e1s, se observa \u00fanicamente un n\u00famero finito de niveles de autosemejanza. Sin embargo, el an\u00e1lisis fractal tambi\u00e9n abarca la posibilidad de identificar en estas formas enmara\u00f1adas alg\u00fan tipo de patr\u00f3n fractal imperfecto o aproximado, y limitado por varios factores naturales. Un claro ejemplo de ello lo constituye el tratamiento de las im\u00e1genes digitales, ampliamente utilizadas para el diagn\u00f3stico m\u00e9dico.<\/p>\n
El hecho de proporcionar un valor num\u00e9rico que represente fielmente el tama\u00f1o y la forma irregular de alguno de estos elementos naturales no es en general una tarea f\u00e1cil. Un par\u00e1metro que se utiliza habitualmente para identificar un patr\u00f3n fractal es la llamada dimensi\u00f3n por recuento de cajas, que funciona a base de correlacionar las observaciones a diferentes escalas del mismo fragmento analizado, y que es compatible con el valor de la dimensi\u00f3n (fractal) obtenido con anterioridad.<\/p>\n
En el contexto de las im\u00e1genes digitales (y en otros como el de la predicci\u00f3n de terremotos o\u00a0 las turbulencias de fluidos), en los \u00faltimos tiempos se ha incrementado el uso de la multifractalidad<\/strong>, que contempla la posibilidad de analizar eficazmente la distribuci\u00f3n de los p\u00edxeles identificativos del contorno estudiado, lo que permite estudiar m\u00e1s localmente su estructura interna y la variaci\u00f3n existente en la morfolog\u00eda estudiada.<\/p>\n
Para seguir adentr\u00e1ndose en esta teor\u00eda de los objetos fractales y multifractales, os remito ahora al art\u00edculo que escrib\u00ed hace unas pocas semanas para Caf\u00e9 y Teoremas, <\/em>de El Pa\u00eds,<\/em> titulado \u201cGeometr\u00eda fractal para la detecci\u00f3n eficaz de tumores\u201d (y, por supuesto, a referencias matem\u00e1ticas cl\u00e1sicas sobre geometr\u00eda fractal como el libro de K. Falconer titulado Fractal Geometry, <\/em>o sobre multifractalidad al libro de D. Harte titulado Multifractals: Theory and applications<\/em>).<\/em><\/p>\n
https:\/\/elpais.com\/ciencia\/cafe-y-teoremas\/2022-03-01\/geometria-fractal-para-la-deteccion-eficaz-de-tumores.html<\/a><\/p>\n
Esta entrada tambi\u00e9n est\u00e1 inspirada en el trabajo de divulgaci\u00f3n realizado en torno a las siguientes publicaciones:<\/p>\n
(Libro) Sepulcre, J.M.: “La prevenzione dei tumori e la geometria frattale<\/a>“, Vol. 34 de: “La Matematica che trasforma il mondo”, Mil\u00e1n, RBA Italia, 2021. ISSN: 2724-1726.<\/p>\n
(Art\u00edculo) Sepulcre, J.M.: Geometr\u00eda fractal: la geometr\u00eda de la naturaleza, SUMA. Revista sobre la ense\u00f1anza y el aprendizaje de las matem\u00e1ticas<\/a>, Dic. 2020, n\u00ba 95, pp. 17-25, 2020.<\/p>\n
Escrito por Juan Mat\u00edas Sepulcre<\/em><\/strong><\/p>\n
Este post forma parte del\u00a0<\/em>Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/em><\/strong>, que en su edici\u00f3n 13.2, est\u00e1 organizado por Gaussianos<\/a>.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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