{"id":2472,"date":"2022-05-21T20:00:46","date_gmt":"2022-05-21T20:00:46","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2472"},"modified":"2022-05-21T20:01:28","modified_gmt":"2022-05-21T20:01:28","slug":"solucion-a-solo-dos-distancias","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/05\/21\/solucion-a-solo-dos-distancias\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a s\u00f3lo dos distancias"},"content":{"rendered":"
Problema 10 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Queremos analizar qu\u00e9 estructuras geom\u00e9tricas puede tener un conjunto de puntos del plano con la propiedad de que si calculamos todas las distancias entre cualquier par de puntos del conjunto s\u00f3lo resulten dos valores.<\/p>\n
a) Comencemos por los conjuntos de tres puntos. Si est\u00e1n alineados, razona que el conjunto formado por dos extremos de un segmento y su punto medio cumple la propiedad pedida y ning\u00fan otro tipo de conjunto la tiene.<\/p>\n
b) Pensemos ahora en los v\u00e9rtices de un tri\u00e1ngulo. Si tomamos tres puntos que sean los v\u00e9rtices de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero, este conjunto no cumple esa propiedad, ya que s\u00f3lo aparece una \u00fanica distancia entre todos ellos. Razona si existe o no un tri\u00e1ngulo cuyos v\u00e9rtices formen un conjunto con esta propiedad.<\/p>\n
c) Estudia qu\u00e9 estructuras pueden tener los conjuntos de 4 puntos del plano que cumplan la propiedad. Trata de indicar un camino para encontrarlas, dib\u00fajalas y justifica que cumplen la propiedad.<\/p>\n
d) Repite el apartado anterior para conjuntos de 5 puntos.
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\nSoluci\u00f3n:
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\na) Supongamos que los tres puntos est\u00e1n alineados. Puesto que se trata de tres puntos, y deben de tener dos distancias entre ellos, el n\u00famero total de distancias posibles entre ellos es tres AB, AC y BC, debe existir una de las tres distancias repetidas, y en todos los casos esas dos distancias tendr\u00e1n un punto en com\u00fan. Eso quiere decir que existe un punto a la misma distancia de otros dos.<\/p>\n
Sobre una recta, el punto que est\u00e1 m\u00e1s a la derecha siempre est\u00e1 a dos distancias diferentes de los otros dos, si son diferentes, y lo mismo sucede con el que est\u00e9 m\u00e1s a la izquierda, de forma que el que est\u00e1 comprendido entre los otros dos debe estar en el centro, para que est\u00e9 equidistante a ambos.<\/p>\n
Por lo tanto, los extremos de un segmento y su punto medio es el \u00fanico conjunto de tres puntos alineados que cumple la condici\u00f3n.<\/p>\n
b) Por la misma observaci\u00f3n que hicimos en el primer p\u00e1rrafo del apartado (a), un punto debe estar exactamente a la misma distancia de los otros dos, y la distancia entre los otros dos debe ser diferente, por lo que el tri\u00e1ngulo debe ser is\u00f3sceles, no equil\u00e1tero (seg\u00fan la definici\u00f3n, el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero podr\u00eda ser considerado un tipo especial de tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles).<\/p>\n
De alguna forma, los tres puntos alineados podemos considerar que tambi\u00e9n formaban un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles de \u00e1rea cero.<\/p>\n
c) Con cuatro puntos la clasificaci\u00f3n es m\u00e1s diversa, ya que un subconjunto de 3 tendr\u00e1n entre ellos, bien dos distancias, bien una \u00fanica distancia.<\/p>\n
Supongamos que tenemos tres puntos que s\u00f3lo tienen una \u00fanica distancia entre ellos. Est\u00e1 claro que no podemos a\u00f1adir un cuarto punto que est\u00e9 a la misma distancia de todos ellos en el plano, porque pertenecer\u00eda simult\u00e1neamente a las tres circunferencias que podemos tazar con centro los tres v\u00e9rtices y radios las distancias.
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\nUna de las formas que podemos a\u00f1adir un cuarto punto a la colecci\u00f3n de tres es de forma que dos de las distancias sean la que ya existe entre ellos y establezca una distancia nueva con el otro, as\u00ed que el cuarto punto debe estar en la intersecci\u00f3n de dos de las circunferencias. A esta configuraci\u00f3n le pondremos el nombre de C1.
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\nAhora, otra de las formas que podemos a\u00f1adir un nuevo punto de forma que aparezca una \u00fanica segunda distancia es que sea equidistante con dos de los puntos del tri\u00e1ngulo, y sobre la circunferencia centrada en uno de ellos, es decir, en la intersecci\u00f3n de la circunferencia con la mediatriz de un segmento. Como la intersecci\u00f3n sucede en dos puntos, diferenciaremos entre la configuraci\u00f3n C2 y C3.
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\nPor \u00faltimo, partiendo de esta configuraci\u00f3n, podemos encontrar un punto que equidiste de los tres, observando el circuncentro del tri\u00e1ngulo, lugar donde intersecan las tres mediatrices (C4).
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\nVeamos ahora os casos en que ninguno de los grupos de tres puntos pueda formar un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. En ese caso, veamos qu\u00e9 combinaci\u00f3n de distancias hay entre los cuatro puntos.<\/p>\n
Supongamos que A est\u00e1 a la misma distancia x de B, C y D. Si eso es as\u00ed, tenemos que entre ellos, ninguno est\u00e1 a la misma distancia x entre ellos, ya que si por ejemplo B y D estuviesen a la misma distancia x, entonces A, B y D formar\u00edan un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. Pero eso significa que B, C y D est\u00e1n a distancia y entre ellos, con lo que forman un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero.<\/p>\n
Por lo tanto, la \u00fanica posibilidad es que A est\u00e9 a distancia x de B y C, y a distancia y de D. Pero entonces, la distancia entre B y C debe ser tambi\u00e9n y para que no formen tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero con A.<\/p>\n
En estas circunstancias, se dan dos casos diferentes.<\/p>\n
Si la distancia entre D y B y entre D y C son iguales a x (no pueden ser iguales a y, por formar entonces un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero), tendr\u00edamos un rombo ABCD, pero con las dos diagonales iguales, es decir, un cuadrado (C5).
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\nLa \u00faltima posibilidad es la m\u00e1s complicada de ver, y es que las distancias entre D y B y entre D y C sean diferentes, es decir, que una de ellas sea x y la otra y. Ambos casos son sim\u00e9tricos, supongamos que la distancia entre D y B sea x y que la distancia entre D y C sea y. En ese caso, tenemos un trapecio muy peculiar, con los tri\u00e1ngulos CBD y DCA iguales, y tambi\u00e9n ABD y ABC. Si construimos un quinto punto E a la misma distancia x de C y D para formar un tri\u00e1ngulo igual a ABC, podemos hacerlo de forma que la distancia entre E y B sea y por semejanza, y en ese caso tenemos un pent\u00e1gono regular. Es decir, que nuestro trapecio en realidad estar\u00e1 formado por cuatro de los v\u00e9rtices de un pent\u00e1gono regular (C6).
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\nd) Continuar a partir de aqu\u00ed puede parecer m\u00e1s complejo, pero en realidad est\u00e1 muy determinado. No puede haber un conjunto de 4 puntos del plano con la misma distancia entre ellos (en el espacio s\u00ed: los v\u00e9rtices de un tetraedro regular). As\u00ed que todo consiste en tomar las combinaciones de los cuatro puntos y comprobar si se puede o no a\u00f1adir un quinto punto con la condici\u00f3n de que est\u00e9 a una de las dos distancias con todos los dem\u00e1s. Su ubicaci\u00f3n se puede obtener mediante construcciones con circunferencias (en cada punto dos centradas con las dos posibles distancias), y comprobar si est\u00e1 a la distancia debida o no (es decir, que en el mismo punto se cortan 4 circunferencias).<\/p>\n
En C1, C2, C3, C4 y C5 es imposible, pero en C6 es l\u00f3gico completarlo hasta el pent\u00e1gono regular, con dos distancias entre todos ellos (el lado y la diagonal del pent\u00e1gono regular).
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