{"id":2493,"date":"2022-06-05T15:31:29","date_gmt":"2022-06-05T15:31:29","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2493"},"modified":"2022-06-05T15:39:33","modified_gmt":"2022-06-05T15:39:33","slug":"solucion-a-reparto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/06\/05\/solucion-a-reparto\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a reparto"},"content":{"rendered":"
Problema 11 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Queremos repartir 20 objetos id\u00e9nticos entre Alba, Bernat, Carla y Diana.<\/p>\n
a) Razona de cu\u00e1ntas maneras diferentes lo podemos hacer si no se pone ninguna condici\u00f3n al reparto, es decir, que se contempla la posibilidad de que alguna o varias de las cuatro personas no reciban ning\u00fan objeto.<\/p>\n
b) Explica de cu\u00e1ntas formas se puede hacer el reparto si queremos que cada persona reciba alg\u00fan objeto. Y, con esta condici\u00f3n, calcula razonadamente en cu\u00e1ntas de estas formas Alba recibe exactamente 3 objetos.<\/p>\n
c) Razona de cu\u00e1ntas formas se puede hacer el reparto con el \u00fanico condicionante de que Diana reciba menos objetos que Alba, y tambi\u00e9n menos que Bernat, y tambi\u00e9n menos que Carla.<\/p>\n
Repite los apartados anteriores en el caso de que los 20 objetos fuesen todos diferentes
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEstos problemas de desarrollo son bastante largos, pero se supone que tienes tiempo para escribirlos y contemplar todas las posibilidades.<\/p>\n
a) En lugar de empezar con 20, pensemos distribuciones de menos objetos para generalizar.<\/p>\n
Si s\u00f3lo tuvi\u00e9semos un objeto, tendr\u00edamos 4 formas de hacer el reparto.<\/p>\n
Si s\u00f3lo tuvi\u00e9semos 2, entonces a las 4 formas iniciales deber\u00edamos a\u00f1adir 6 m\u00e1s, que ser\u00edan las 6 formas de escoger a qu\u00e9 2 personas vamos a d\u00e1rselas de las 4 (4\u00b73\/2). Un total de 10.<\/p>\n
Si tuvi\u00e9semos que repartir 3, tendr\u00edamos las 4 en que repartir\u00edamos 3 \u2013 0 \u2013 0 \u2013 0, 12 en que repartir\u00edamos 2 \u2013 1 \u2013 0 \u2013 0 , y 4 formas en las que repartimos 1 \u2013 1 \u2013 1 \u2013 0. Un total de 19.<\/p>\n
Veamos, si no nos fijamos en a qui\u00e9n le toca una cantidad, cu\u00e1ntos diferentes lotes se pueden hacer con 20 objetos, y cu\u00e1ntos de ellos son realmente diferentes.<\/p>\n
Despu\u00e9s de dar un par de vueltas y darme cuenta de la enorme cantidad de posibilidades que hay, he decidido que conviene separarlos en repartos que premien con la misma cantidad a varios o no.<\/p>\n
Si todos reciben lo mismo, hay una \u00fanica manera de repartirlos (5 \u2013 5 \u2013 5 \u2013 5), que adem\u00e1s corresponde a una \u00fanica forma de hacer el reparto.<\/p>\n
Si hay 3 iguales y uno diferente, tenemos 6 posibilidades (de 0 \u2013 0 \u2013 0 \u2013 20 a 6 \u2013 6 \u2013 6 \u2013 2, teniendo en cuenta que no puedes usar el 5 para los 3 iguales). Tienes 4 formas de repartir cada uno, teniendo en cuenta que s\u00f3lo una de las 4 personas recibe el diferente. En total 24 formas m\u00e1s.<\/p>\n
Si hay 2 iguales y 2 iguales por otro lado, deber\u00edan de poder sumar las dos cantidades diferentes 10, lo que puede hacerse de 5 formas (desde 0 \u2013 0 \u2013 10 \u2013 10 hasta 4 \u2013 4 \u2013 6 \u2013 6). Cada una de ellas se reparte eligiendo a 2 de ellos para darles dos de los que son iguales, y los otros dos recibir\u00edan el otro (por lo que hay 4\u00b73\/2 = 6 formas de hacerlo) lo que hacen 30 repartos m\u00e1s.<\/p>\n
Si hay 2 iguales y 2 diferentes, el recuento es algo m\u00e1s pesado. Para (0 \u2013 0), tenemos desde 1 \u2013 19 hasta 9 \u2013 11, un total de 10 formas. Para (1 \u2013 1), tenemos desde 0 \u2013 18 hasta 8 \u2013 10, pero no vale 1 \u2013 17, 8 formas. Para (2 \u2013 2) tenemos desde 0 \u2013 16 hasta 7 \u2013 9, pero no vale 2 \u2013 14, 7 formas. Para (3 \u2013 3) tenemos desde 0 \u2013 14 hasta 6 \u2013 8, sin contar 3 \u2013 11, 6 formas. Para (4 \u2013 4), desde 0 \u2013 12 hasta 5 \u2013 7, sin que valga 4 \u2013 8, 4 formas. Para (5 \u2013 5) tenemos desde 0 \u2013 10 hasta 4 \u2013 6, 5 formas. Para (6 \u2013 6) tenemos de 0 \u2013 8 hasta 3 \u2013 5, pero no vale el 2 \u2013 6, 3 formas. Para (7 \u2013 7) tenemos de 0 \u2013 6 hasta 2 \u2013 4, 3 formas. Para (8 \u2013 8), tenemos 0 \u2013 4 y 1 \u2013 3, s\u00f3lo 2 formas. Y para (9 \u2013 9) s\u00f3lo vale (0 \u2013 2), una \u00fanica forma. En total, 49 repartos. Para repartir cada uno de ellos, elegimos un par ordenado de personas a los que daremos los dos diferentes, el mayor y el menor, y a los otros dos los dos iguales, lo que hace un total de 12 repartos para cada opci\u00f3n, as\u00ed que ser\u00edan 12\u00b749 = 588 formas nuevas de repartir los 20 objetos.<\/p>\n
Y queda lo m\u00e1s dif\u00edcil, que los 4 sean diferentes.<\/p>\n
Para poder contarlos bien, los ordenamos y vamos buscando en orden.<\/p>\n
Si el menor es 0, y el segundo es 1, tenemos del 2 \u2013 17 hasta el 9 \u2013 10, 8 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 0, y el segundo es 2, tenemos del 3 \u2013 15 hasta el 8 \u2013 10, 6 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 0, y el segundo es 3, tenemos del 4 \u2013 13 hasta el 8 \u2013 9, 5 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 0, y el segundo es 4, tenemos del 5 \u2013 11 hasta el 7 \u2013 9, 3 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 0, y el segundo es 5, tenemos del 6 \u2013 9 hasta el 7 \u2013 8, 2 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 0 y el segundo es 6 o mayor, no podemos agrupar los que quedan en dos mayores diferentes.<\/p>\n
Si el menor es 1 y el segundo es 2, tenemos del 3 \u2013 14 hasta el 8 \u2013 9, 6 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 1 y el segundo es 3, tenemos del 4 \u2013 12 hasta el 7 \u2013 9, 4 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 1 y el segundo es 4, tenemos del 5 \u2013 10 hasta el 7 \u2013 8, 3 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 1 y el segundo es 5, tenemos s\u00f3lo el 6 \u2013 8, 1 lote.<\/p>\n
Si el menor es 1 y el segundo fuese 6 o mayor, no podemos agrupar los dem\u00e1s en dos mayores.<\/p>\n
Si el menor es 2 y el segundo 3, tenemos del 4 \u2013 11 al 7 \u2013 8, 4 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 2 y el segundo 4, tenemos el 5 \u2013 9 y el 6 \u2013 8, 2 lotes.<\/p>\n
Si el menor es 2 y el segundo es 5, s\u00f3lo tenemos el 6 \u2013 7, 1 lotes.<\/p>\n
Si el segundo es mayor de 5, ya no hay m\u00e1s formas de agrupar diferentes.<\/p>\n
Si el menor es 3 y el segundo es 4, tenemos el 5 \u2013 8 y el 6 \u2013 7, 2 lotes.<\/p>\n
Si el segundo es mayor de 4, ya no hay m\u00e1s formas de agrupar diferentes.<\/p>\n
Si el primero es 4, ya no hay m\u00e1s formas de agrupar en cantidades diferentes.<\/p>\n
En total, hay 49 formas de agrupar en 4 lotes diferentes, y cada una de estas formas podemos repartirla de 24 = 4\u00b73\u00b72\u00b71 maneras distintas, as\u00ed que tenemos un total de 1176 formas de reparto diferentes.<\/p>\n
As\u00ed que, en total, si no me he equivocado en el recuento, hay 1819 formas de hacer este reparto de 20 objetos id\u00e9nticos entre esas 4 personas.<\/p>\n
b) Si nadie recibe 0 objetos, hay que descontar alguno de los que hemos sumado.<\/p>\n
De todos iguales sale el mismo resultado.<\/p>\n
De 3 iguales, una menos (20 formas).<\/p>\n
De 2 \u2013 2 iguales, una menos (24 formas).<\/p>\n
De 2 iguales, eliminamos 19 posibilidades, con lo que nos quedamos con 30\u00b712 = 360 formas.<\/p>\n
Con todas diferentes hay que eliminar 23 maneras de hacer los lotes, lo que deja 26 formas de hacer los lotes y 624 formas.<\/p>\n
As\u00ed que tenemos un total de 1029 formas.<\/p>\n
Ahora bien, se me ocurre que si sabemos que Alba ha recibido 3 objetos, tenemos que repartir los 17 objetos restantes entre las otras 3 personas, as\u00ed que vamos a la tarea.<\/p>\n
Evidentemente, no hay forma de que los 3 reciban lo mismo.<\/p>\n
Si hay 2 iguales, tenemos desde (1 \u2013 1 \u2013 15) hasta (8 \u2013 8 \u2013 1), 8 agrupaciones, que habr\u00eda que multiplicar por 3, y tendr\u00edamos 24 formas.<\/p>\n
Si todas son diferentes, volvemos a hacer un sistema similar al inicial.<\/p>\n
Si el menor es 1, del 2 \u2013 14 hasta el 7 \u2013 9, 6 lotes diferentes.<\/p>\n
Si el menor es 2, del 3 \u2013 12 hasta el 7 \u2013 8, 5 lotes diferentes.<\/p>\n
Si el menor es 3, del 4 \u2013 10 hasta el 6 \u2013 8, 3 lotes diferentes.<\/p>\n
Si el menor es 4, s\u00f3lo tenemos 5 \u2013 8 y 6 \u2013 7, 2 lotes diferentes.<\/p>\n
Si el menor es 5 o mayor, no hay forma de repartir en lotes diferentes.<\/p>\n
En total podemos hacer 16 lotes diferentes que podr\u00edamos distribuir de 6 formas diferentes cada uno, lo que hace un total de 96 formas.<\/p>\n
En total, si Alba tiene 3 objetos, hay 120 formas diferentes de repartir los restantes 17.<\/p>\n
c) Me parece que esto se puede interpretar de varias formas. Voy a tratar de razonar de cuantas formas podemos hacer el reparto de forma que una de ellas (Diana) reciba menos que las otras tres.<\/p>\n
Evidentemente, no podemos hacer 4 lotes iguales, ni 2 y 2 iguales.<\/p>\n
Si hacemos 3 iguales, el diferente deber\u00e1 tener menos, s\u00f3lo habr\u00e1 uno 6 \u2013 6 \u2013 6 \u2013 2, que s\u00f3lo se puede dar de una manera.<\/p>\n
Si hacemos 2 iguales s\u00f3lo, uno de los diferentes ser\u00e1 el menor, as\u00ed que para (1 \u2013 1) tendr\u00edamos un lote s\u00f3lo, para (2 \u2013 2) tendr\u00edamos 2, para (3 \u2013 3) tendr\u00edamos 3, para (4 \u2013 4) tendr\u00edamos 4, y a partir de ah\u00ed valdr\u00edan todos, es decir, tendr\u00edamos 5, 3, 3, 2, 1, en total 24 formas de hacer los lotes. A la hora de repartir los lotes, el de Diana ser\u00eda uno de los diferentes, y los otros 3 hay 3 formas de repartirlos, por haber 2 iguales, as\u00ed que un total de 24\u00b73 = 72 formas de repartir.<\/p>\n
Y si son los 4 distintos, el recuento de lotes vale en su totalidad (49), y hay 6 formas de repartirlos, suponiendo que a Diana le toca el menor, as\u00ed que 294 formas.<\/p>\n
En total, hay 367 formas de hacer esto.<\/p>\n
Ahora, si suponemos que los objetos son diferentes, parece que tenemos que rehacer el ejercicio, pero en ese caso es m\u00e1s sencillo, porque basta verlo en sentido contrario, es decir, repartir los 4 candidatos entre los premios, pudiendo repetir.<\/p>\n
a) Tendr\u00edamos 420<\/sup>, que es un n\u00famero enorme de formas de repartirlos.<\/p>\n
b) Este apartado se vuelve m\u00e1s complejo, ya que habr\u00eda que restar a la cantidad anterior aquellos casos en los que uno de ellos ha quedado sin nada.<\/p>\n
Contemos por tanto la cantidad de veces que alguien se queda sin nada. Hay 4 ocasiones en que todas las cosas pasan a un \u00fanico destinatario, es decir, 4 casos en que tres se quedan sin nada.<\/p>\n
Si seleccionamos dos de las cuatro personas para que se queden sin nada (lo que podemos hacer de 6 formas posibles, hay un total de 220<\/sup> formas de repartir los objetos entre los otros dos, pero hay que descontar las dos formas en las que una tercera persona se queda sin nada, en total hay 6\u00b7(220<\/sup> \u2013 2) formas en las que 2 personas exactamente se quedan sin nada.<\/p>\n
Por \u00faltimo, si seleccionamos 1 persona para que se quede sin nada, tendr\u00edamos 3^20 formas de repartir los objetos entre las 3 personas sobrantes, a lo que habr\u00eda que restar las 3 formas en las que todo se lo queda una persona, y, seleccionando otra persona (3 maneras), las 220<\/sup> \u2013 2 formas en las que hay una segunda persona que se queda sin nada. En total, ser\u00edan 320<\/sup> \u2013 3 \u2013 3\u00b7(220<\/sup> \u2013 2) = 320<\/sup> \u2013 3\u00b7220<\/sup> + 3 formas en las que exactamente una persona determinada se queda sin nada.<\/p>\n
Por lo tanto, el n\u00famero exacto de formas en las que podemos repartir 20 objetos entre 4 personas de forma que no haya nadie que se queda sin ning\u00fan premio, ser\u00edan 420<\/sup> \u2013 4 \u2013 6\u00b7(220<\/sup> \u2013 2) \u2013 4\u00b7(320<\/sup> \u2013 3\u00b7220<\/sup> + 3) = 420<\/sup> + 6\u00b7220<\/sup>  \u2013 4\u00b7320<\/sup> \u2013 4, lo que sigue siendo un n\u00famero realmente enorme.<\/p>\n
Darle 3 objetos a una de las personas tampoco har\u00eda sencillo el c\u00e1lculo, pero consistir\u00eda en seleccionar las tres cosas que va a tener esa persona (que ser\u00eda 20\u00b719\u00b718\/6 = 20\u00b719\u00b73 = 1140 formas diferentes) y calcular de nuevo de cu\u00e1ntas formas podr\u00edamos repartir los 17 objetos restantes entre los dem\u00e1s, con la condici\u00f3n de que nadie se quede sin nada.<\/p>\n
Si no me equivoco, ser\u00edan 317<\/sup> \u2013 3 \u2013 3\u00b7(217<\/sup> \u2013 2) = 317<\/sup> \u2013 3\u00b7217<\/sup> + 3 formas, una vez que seleccionemos los tres objetos que le vamos a dar, es decir, en total 1140\u00b7(317<\/sup> \u2013 3\u00b7217<\/sup> + 3).<\/p>\n
De nuevo tenemos un n\u00famero terriblemente grande. Pero la proporci\u00f3n es aproximadamente en una de cada 7 formas, se quedar\u00eda con exactamente 3 objetos.<\/p>\n
c) La tercera condici\u00f3n, en la que Diana recibe menos objetos que los dem\u00e1s, tiene una dificultad a\u00f1adida, ya que puede haber un empate y habr\u00eda que descontar esos casos (si no pudiese haber empate, bastar\u00eda dividir por 4).<\/p>\n
Con la pr\u00e1ctica que hemos tomado en el apartado b) podemos hacerlo de la siguiente forma:<\/p>\n
Casos en los que Diana recibe 0 objetos, y todos los dem\u00e1s al menos 1.<\/p>\n
Casos en los que Diana recibe 1 objeto, y todos los dem\u00e1s al menos 2.<\/p>\n
Casos en los que Diana recibe 2 objetos, y todos los dem\u00e1s al menos 3.<\/p>\n
Casos en los que Diana recibe 3 objetos y todos los dem\u00e1s al menos 4.<\/p>\n
Casos en los que Diana recibe 4 objetos y todos los dem\u00e1s al menos 5.<\/p>\n
Pero el recuento es especialmente dif\u00edcil, si tenemos en cuenta que no debemos repetir un reparto.<\/p>\n
No se me ocurre ninguna forma de simplificarlo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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