{"id":2505,"date":"2022-06-12T19:31:54","date_gmt":"2022-06-12T19:31:54","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2505"},"modified":"2022-06-12T19:31:54","modified_gmt":"2022-06-12T19:31:54","slug":"solucion-a-suma-de-fracciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/06\/12\/solucion-a-suma-de-fracciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a suma de fracciones"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 12 del concurso Olitele 2021\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Suma estas fracciones, obteniendo el resultado en forma de fracci\u00f3n irreducible:<\/p>\n<p>1\/(1 + 2022<sup>-2022<\/sup>) + 1\/(1 + 2022<sup>-2021<\/sup>)+ \u2026 + 1\/(1 + 2022<sup>-1<\/sup>) + 1\/(1 + 2022<sup>0<\/sup>) + 1\/(1 + 2022<sup>1<\/sup>) + \u2026 + 1\/(1 + 2022<sup>2021<\/sup>) + 1\/(1 + 2022<sup>2022<\/sup>)<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2501\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/06\/249.sumafracciones.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/06\/249.sumafracciones.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/06\/249.sumafracciones-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEs evidente que tenemos que hacer pruebas con n\u00fameros m\u00e1s bajos, como 1\/(1 + 4<sup>-4<\/sup>) + 1\/(1 + 4<sup>-3<\/sup>)+\u2026 1\/(1 + 4<sup>4<\/sup>) para ver qu\u00e9 sucede.<\/p>\n<p>Y cuando manipulamos estas fracciones con sumas con exponentes negativos, lo que es evidente es que si queremos transformarlas de forma que no aparezcan estos exponentes, hay que multiplicar por la potencia adecuada.<\/p>\n<p>Por ejemplo, 1\/(1 + 4<sup>-4<\/sup>) debemos multiplicarla por 4<sup>4<\/sup> en su numerador y denominador para evitar que aparezcan potencias negativas, de forma que se transformar\u00eda en una fracci\u00f3n equivalente, 4<sup>4<\/sup>\/(4<sup>4<\/sup> + 1).<br \/>\nY en ese momento nos podemos dar cuenta de que el denominador coincide con el de la fracci\u00f3n 1\/(1 + 4<sup>4<\/sup>), que aparece en \u00faltimo lugar, por lo que podr\u00edamos sumar ambas fracciones sencillamente, obteniendo 4<sup>4<\/sup>\/(4<sup>4<\/sup> + 1) + 1\/(1 + 4<sup>4<\/sup>) = (4<sup>4<\/sup> + 1)\/(1 + 4<sup>4<\/sup>) = 1.<\/p>\n<p>Y si nos fijamos en las fracciones que tenemos que sumar en el enunciado, a ambos lados de la lista tenemos, en la posici\u00f3n 2021 \u2013 n, una fracciones de la forma 1\/(1 + 2022<sup>-n<\/sup>) = 2022<sup>n<\/sup>\/(2022<sup>n<\/sup> + 1) a la izquierda y 1\/(1 + 2022<sup>n<\/sup>) en la derecha, que sumadas dan (2022<sup>n<\/sup> + 1)\/(1 + 2022<sup>n<\/sup>) = 1.<\/p>\n<p>S\u00f3lo queda entonces un n\u00famero que no es entero, el valor central, 1\/(1 + 2022<sup>0<\/sup>) = 1\/2. Contando la cantidad de t\u00e9rminos que tiene la suma, tendremos que su valor es 2022 + 1\/2 = 4045\/2, que es la fracci\u00f3n buscada.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 12 del concurso Olitele 2021 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Suma estas fracciones, obteniendo el resultado en forma de fracci\u00f3n irreducible: 1\/(1 + 2022-2022) + 1\/(1 + 2022-2021)+ \u2026 + 1\/(1 + 2022-1) + 1\/(1 + 20220) + 1\/(1 + 20221) + \u2026 + 1\/(1 + 20222021) + 1\/(1 + 20222022) [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242014,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2505","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-olitele","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2505","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2505"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2505\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2506,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2505\/revisions\/2506"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2505"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2505"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2505"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}