{"id":2540,"date":"2022-07-24T05:46:49","date_gmt":"2022-07-24T05:46:49","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2540"},"modified":"2022-07-24T05:46:49","modified_gmt":"2022-07-24T05:46:49","slug":"solucion-a-un-sistema-complicado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/07\/24\/solucion-a-un-sistema-complicado\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un sistema complicado"},"content":{"rendered":"
Problema 4 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Sabemos que se cumplen las igualdades siguientes:<\/p>\n
A + B + C = m<\/p>\n
C\u00b7B \u2013 A = n<\/p>\n
A \u2013 C = p<\/p>\n
Y que A, B y C son n\u00fameros naturales.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l ser\u00e1 el resultado de C\u00b7A + B (en funci\u00f3n de m, n y p)?<\/p>\n
(nota: a los participantes les daban valores concretos de m, n y p)
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSe trata de un sistema no lineal, y adem\u00e1s hay muchas inc\u00f3gnitas.<\/p>\n
Los primeros intentos deben ir encaminados no a resolver totalmente el sistema, si no a modificar las expresiones para obtener el valor objetivo. Si eso fracasa, ya tendremos tiempo de tratar de resolver.<\/p>\n
As\u00ed, vemos que en realidad la ecuaci\u00f3n m\u00e1s sencilla es la que nos dice que A = C + p, lo que nos permite transformar las dem\u00e1s, y tambi\u00e9n el objetivo.<\/p>\n
B + 2C = m \u2013 p<\/p>\n
C\u00b7B \u2013 C = n + p (tambi\u00e9n se puede expresar como C(B \u2013 1) = n + p.<\/p>\n
El objetivo pasa a ser C\u00b7C + p\u00b7C + B, es decir, C\u00b2 + pC + B.<\/p>\n
Ahora, la primera ecuaci\u00f3n pasa a decirnos que B = m \u2013 p \u2013 2C. Usando esa informaci\u00f3n, sustituimos en los dem\u00e1s y tenemos lo siguiente:<\/p>\n
(m \u2013 p)C \u2013 2C\u00b2 \u2013 C = n + p, tambi\u00e9n se puede escribir como si fuese una ecuaci\u00f3n de segundo grado, 2C\u00b2 + (p \u2013 m + 1)C + n + p = 0<\/p>\n
Y nuestro objetivo pasa a ser  C\u00b2 + pC + m \u2013 p \u2013 2C = C\u00b2 + (p \u2013 2)C + m \u2013 p<\/p>\n
Me da la impresi\u00f3n de que no puedo transformar una en la otra, as\u00ed que no me queda m\u00e1s remedio que resolver y buscar el valor de C.<\/p>\n
Hay dos soluciones. Parece muy complicado, pero debemos tener en cuenta que a los concursantes se les proporciona unos valores m, n y p de referencia, y que al menos una de las dos soluciones debe ser natural.<\/p>\n
La primera soluci\u00f3n ser\u00eda C = (m \u2013 p \u2013 1 + ra\u00edz(p\u00b2 + m\u00b2 + 1 + 2p \u2013 2m \u2013 2pm \u2013 8n \u2013 8p))\/4
\ny la segunda ser\u00eda  C = (m \u2013 p \u2013 1 \u2013 ra\u00edz(p\u00b2 + m\u00b2 + 1 + 2p \u2013 2m \u2013 2pm \u2013 8n \u2013 8p))\/4.<\/p>\n
A partir de ah\u00ed se sustituye en el objetivo.<\/p>\n
Puede que en principio parezca dar dos soluciones, pero hay que tener cuidado y en ese caso calcular A y B, porque si una de ellas no da entera y positiva, esa soluci\u00f3n queda descartada.<\/p>\n
A lo largo del proceso he metido la pata varias veces, y ha sido de mucha utilidad darle valores concretos a A, B y C, y sustituir en los pasos intermedios. Si no daba lo mismo, lo revisaba detalladamente.<\/p>\n
Por ejemplo, para A = 4, B = 2, C = 1, tenemos que m = 9, n = 2 y p = 1, con lo que al final obtenemos como primera soluci\u00f3n C = (7 + ra\u00edz(25))\/4 = 3 y como segunda C =  (7 \u2013 ra\u00edz(25))\/4, que no es entero. Evidentemente, el n\u00famero que buscamos es 14 (sustituimos en C\u00b2 \u2013 C + 8).<\/p>\n
En otra ocasi\u00f3n, ambas soluciones han salido enteras y positivas (para m = 15, n = 32 y p = -4, las dos soluciones son 7 y 2), pero una de las dos ocasiona un valor negativo para la A, as\u00ed que esa no es v\u00e1lida.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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