{"id":2569,"date":"2022-08-21T16:15:15","date_gmt":"2022-08-21T16:15:15","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2569"},"modified":"2022-08-21T16:19:48","modified_gmt":"2022-08-21T16:19:48","slug":"solucion-a-digitos-en-espiral","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/08\/21\/solucion-a-digitos-en-espiral\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a d\u00edgitos en espiral"},"content":{"rendered":"
Problema 8 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Los d\u00edgitos de la secuencia 123451234512345\u2026 (sucesivas copias de los cinco d\u00edgitos 12345) se sit\u00faan en las celdas de una cuadr\u00edcula formando una cadencia en espiral que comienza en la celda marcada en gris, tal y como mostramos en la siguiente imagen.<\/p>\n
a) Explica en qu\u00e9 casilla estar\u00e1 situado el 5 que ocupa el lugar 80 de la secuencia.<\/p>\n
b) Exp\u00f3n un algoritmo adecuado para situar en la cuadr\u00edcula la cifra que ocupa el lugar n de la secuencia.<\/p>\n
c) Razona qu\u00e9 d\u00edgito estar\u00e1 colocado exactamente 15 celdas por encima de la celda marcada en gris.<\/p>\n
d) Exp\u00f3n un algoritmo adecuado para decidir qu\u00e9 cifra ocupa la casilla que est\u00e1 \u201cen vertical\u201d exactamente c celdas por encima de la casilla gris.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEvidentemente, los d\u00edgitos situados en posici\u00f3n 5, 10, 15, y cualquier m\u00faltiplo de 5, ser\u00e1n iguales a 5.<\/p>\n
Ahora, vamos a calcular las coordenadas en las que est\u00e1 situado el d\u00edgito n\u00famero 80.<\/p>\n
Como se puede ver en la imagen, la forma en la que vamos situando los d\u00edgitos es formando cuadrados cada vez mayores, es decir, que los 4 primeros d\u00edgitos formar\u00e1n un cuadrado de lado 2, los 9 primeros d\u00edgitos formar\u00e1n un cuadrado de lado 3, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
Si no nos hemos dado cuenta de ese detalle, conviene idear una espiral similar poniendo la posici\u00f3n correspondiente, y atender a las formas cuadradas, es decir, \u201ccompletas\u201d.
\n\"\"<\/p>\n
Como resulta que 80 es un n\u00famero que est\u00e1 delante de un cuadrado, el 81, es mejor situar el n\u00famero 81 primero, y calcular d\u00f3nde va el anterior.<\/p>\n
Si nos fijamos en el dibujo anterior, los cuadrados impares est\u00e1n situados siguiendo una diagonal desde la casilla marcada en gris, hacia arriba y hacia la derecha, mientras que los cuadrados pares se sit\u00faan siguiendo una diagonal hacia abajo y hacia la izquierda con respecto a la casilla que ocupa el primer 4, inmediatamente debajo de la casilla gris.<\/p>\n
Puesto que 81 es el cuadrado de 9, que es el quinto impar, estar\u00e1 situado 4 casillas por encima de la casilla gris, y 4 casillas hacia la derecha. Por eso, el 5 que ocupa el lugar 80 de la secuencia, estar\u00e1 en la casilla situada 4 por encima y 3 hacia la derecha de la casilla gris.<\/p>\n
El algoritmo que creo que es m\u00e1s asequible es tomar la parte entera de la ra\u00edz del lugar que queramos calcular, a la que podemos llamar q, y la diferencia desde q\u00b2 hasta el lugar n, que podemos llamar p.<\/p>\n
Si q es par, en el caso en el que p sea 0, estar\u00edamos en la posici\u00f3n q\/2 por debajo de la casilla gris, y q\/2 \u2013 1 a la izquierda. Ahora, todo depende de si p es mayor que n, o no.<\/p>\n
Si p es mayor que 0, y menor o igual que q, la posici\u00f3n correcta ser\u00e1 q\/2 + 1 \u2013 p por debajo de la casilla gris (en caso de que p sea mayor que q\/2, ser\u00e1 p \u2013 q\/2 \u2013 1 por arriba), y exactamente q\/2 a la izquierda. Le llamo caso 1.<\/p>\n
Si p es mayor que q, est\u00e1 limitado por 2q, ya que q\u00b2 + 2q + 1 es el cuadrado de q + 1, por lo que q deber\u00eda ser mayor. En ese caso, su posici\u00f3n ser\u00e1 q\/2 por encima de la casilla gris, y q\/2 + q + 1 \u2013 p a la izquierda de la casilla gris, salvo que p sea mayor que q + q\/2, en cuyo caso ser\u00e1 p \u2013 q \u2013 q\/2 \u2013 1 a la derecha de la casilla gris. Le llamo caso 2.<\/p>\n
Si q es impar, el c\u00e1lculo es muy diferente. En el caso en que p sea 0, tendr\u00edamos la posici\u00f3n (q \u2013 1)\/2 por arriba de la casilla gris, y (q \u2013 1)\/2 a la derecha de la casilla gris.<\/p>\n
Si p es mayor que 0, y menor o igual que q, la posici\u00f3n correcta ser\u00eda (q \u2013 1)\/2 + 1 \u2013 p por encima de la casilla gris, aunque si p es mayor que (q \u2013 1)\/2, estar\u00eda p \u2013 (q \u2013 1)\/2 \u2013 1 por debajo de la casilla gris, y en cualquier caso, (q \u2013 1)\/2 + 1 a la derecha de la casilla gris. Le llamo caso 3.<\/p>\n
Si p es mayor que q, est\u00e1 limitado a 2q (de nuevo, por ser q\u00b2 + 2q + 1 un cuadrado perfecto), y la posici\u00f3n vertical ser\u00eda (q \u2013 1)\/2 + 1 por debajo de la casilla gris, y (q \u2013 1)\/2 + 2 + q \u2013 p a la derecha de la casilla gris (salvo que p sea mayor que (q \u2013 1)\/2 + 2 + q, porque en ese caso ser\u00eda p \u2013 (q \u2013 1)\/2 \u2013 2 \u2013 q a la derecha de la casilla gris. Le llamo caso 4.<\/p>\n
Vamos a comprobar algunas casillas con el ejemplo que tenemos en el dibujo, porque as\u00ed es como he perfilado un poco las f\u00f3rmulas correspondientes a los cuatro lados. Se podr\u00eda haber perfilado un poco las opciones, haciendo la ra\u00edz de uno menos del lugar en lugar de la ra\u00edz del lugar, para evitar tener que ocuparse de la posici\u00f3n 0, pero creo que queda m\u00e1s claro as\u00ed.<\/p>\n
Por ejemplo, el elemento 15 est\u00e1 dos casillas por debajo y 0 a la izquierda o a la derecha de la casilla gris. En este caso, q es la parte entera de la ra\u00edz cuadrada, que ser\u00eda 3, que es impar, y p vale 6, es decir, es mayor que q. As\u00ed que estar\u00edamos en el cuarto caso, q es impar, y p es mayor que q. Su posici\u00f3n vertical ser\u00eda (3 \u2013 1)\/2 + 1 = 2 por debajo de la casilla gris, y (3 \u2013 1)\/2 + 2 + 3 \u2013 p = 0 a la derecha, en efecto.<\/p>\n
Otro ejemplo, el 29, que est\u00e1 3 a la derecha y 1 por debajo de la casilla gris. La parte entera de la ra\u00edz es 5, y p en este caso vale 4, que es menor que q. Estar\u00edamos en el caso 3. Seg\u00fan el algoritmo, puesto que p es mayor que (q \u2013 1)\/2 = 2, estar\u00eda p \u2013 (q \u2013 1)\/2 \u2013 1 = 1 por debajo de la casilla gris y (q \u2013 1)\/2 + 1 = 3 a la derecha, efectivamente.<\/p>\n
Un tercer ejemplo ser\u00eda el 18, dos casillas a la izquierda y una por debajo. La parte entera de la ra\u00edz cuadrada, q, valdr\u00eda 4, que es par, y p ser\u00eda 2, menor que q. El caso ser\u00eda el 1. Su posici\u00f3n ser\u00eda q\/2 + 1 \u2013 p = 1 por debajo de la casilla gris, y exactamente q\/2 = 2 a la izquierda.<\/p>\n
Y el cuarto ejemplo de referencia ser\u00eda el 24 (dos arriba y una a la derecha), en el que q = 4 y p = 8, mayor que q, es decir, el caso 2, su posici\u00f3n ser\u00e1 q\/2 = 2 por encima de la casilla gris y, como p es mayor que q + q\/2 + 1 = 6, en cuyo caso ser\u00e1 p \u2013 q \u2013 q\/2 \u2013 1 = 1 a la derecha de la casilla gris.<\/p>\n
Veamos ahora el apartado c. Se trata de encontrar el n\u00famero que hay en la casilla 15 por encima de la gris. Es relativamente f\u00e1cil encontrar el n\u00famero que va en esa posici\u00f3n, de nuevo fij\u00e1ndonos en la diagonal de los cuadrados. El cuadrado que corresponde a 15 la derecha y 15 por arriba de la gris, ser\u00eda el 31\u00b2 = 961, ya que 31 es el impar n\u00famero 16. Puesto que queremos el que hay en la posici\u00f3n 0 a la derecha, en lugar de 15 a la derecha, se tratar\u00e1 del n\u00famero 961 \u2013 15 = 946 el que ocupa esa posici\u00f3n, as\u00ed que se tratar\u00e1 del d\u00edgito 1, por ser 945 divisible por 5.<\/p>\n
Encontrar un algoritmo que describa el n\u00famero que aparece en la casilla c celdas por encima de la casilla gris, a partir de lo que hemos visto en el apartado anterior, es relativamente sencillo. El cuadrado que corresponde a c por arriba y c a la derecha es (2c + 1)\u00b2, y como la posici\u00f3n que buscamos est\u00e1 desplazada c a la derecha, el d\u00edgito que deberemos situar es el que corresponde a la posici\u00f3n (2c + 1)\u00b2 \u2013 c = 4c\u00b2 + 3c + 1.<\/p>\n
Y este d\u00edgito debemos leerlo en m\u00f3dulo 5, es decir, seg\u00fan su resto al dividirlo por 5. Cada 5 unidades volver\u00e1 a ser el mismo, ya que c\u00b2, m\u00f3dulo 5, sigue un ritmo determinado (1, 4, 4, 1, 0, 1, 4, 4, 1, \u2026), 4c\u00b2 seguir\u00e1 tambi\u00e9n un ritmo (4, 1, 1, 4, 0, 4, 1, 1, 4, 0, \u2026). Por otra parte, 3c sigue el patr\u00f3n (3, 1, 4, 2, 0, 3, 1, 4, 2, 0, …), y al sumarle a estos ritmos 1 obtendremos (3, 3, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, \u2026) (no lo hay, pero si hubiese alg\u00fan caso en el que el que m\u00f3dulo 5 sea 0, quiere decir que esa celda la ocupa en realidad un 5).<\/p>\n
Por tanto, el algoritmo m\u00e1s eficaz para decidir cu\u00e1l es el n\u00famero que ocupa la posici\u00f3n c por encima de la casilla gris, ser\u00eda el siguiente: Determinar el resto al dividir c entre 5, y en cada una de las posibilidades, obtendremos lo siguiente:<\/p>\n
Si el resto es 1, el d\u00edgito ser\u00e1 un 3.<\/p>\n
Si el resto es 2, el d\u00edgito ser\u00e1 un 3.<\/p>\n
Si el resto es 3, el d\u00edgito ser\u00e1 un 1.<\/p>\n
Si el resto es 4, el d\u00edgito ser\u00e1 un 2.<\/p>\n
Si el resto es 0, el d\u00edgito ser\u00e1 un 1.<\/p>\n
Esto encaja con los n\u00fameros que hemos obtenido en el ejemplo inicial, y tambi\u00e9n en el ejemplo estudiado en el apartado anterior. De hecho, compararlo con los ejemplos me ha servido para corregir algunos errores de c\u00e1lculo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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